東北大学 2021年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

直線 $l$ の傾きは1なので $l:y=x+c$ とおける。曲線 $y=x^3-2x$ との交点の $x$ 座標は $x^3-2x=x+c$ すなわち $x^3-3x-c=0$ の解である。

点 $R$ の座標が $(a,a^3-2a)$ であるから，$a$ はこの方程式の解であり $c=a^3-3a$ である。したがって $x^3-3x-(a^3-3a)=0$ であり，左辺を因数分解すると $(x-a)(x^2+ax+a^2-3)=0$ である。残り2根，すなわち $P,Q$ の $x$ 座標の和は $-a$ である。よって線分 $PQ$ の中点 $S$ の $x$ 座標は $-\frac{a}{2}$ である。

点 $S$ は直線 $y=x+c$ 上にあるので，$y=-\frac{a}{2}+a^3-3a=a^3-\frac{7}{2}a$ である。したがって $S\left(-\frac{a}{2},a^3-\frac{7}{2}a\right)$ である。

(2)

$x^3-3x-c=0$ が異なる3つの実数解をもつのは，$y=x^3-3x$ の極大値と極小値の間に $c$ があるときである。$x^3-3x$ は $x=-1$ で極大値 $2$，$x=1$ で極小値 $-2$ をとるから $-2<c<2$ である。

最大根 $a$ は右側の枝にあるので $1<a<2$ である。(1) で $S=(X,Y)$ とおくと $X=-\frac{a}{2}$ であるから $a=-2X$ であり，$Y=a^3-\frac{7}{2}a=-8X^3+7X$ である。$1<a<2$ は $-1<X<-\frac{1}{2}$ に対応する。したがって点 $S$ の軌跡は $Y=-8X^3+7X,-1<X<-\frac{1}{2}$ である。

(3)

$P,Q$ の $x$ 座標は，方程式 $x^2+ax+a^2-3=0$ の2解である。判別式は $a^2-4(a^2-3)=12-3a^2$ だから，2解は $\frac{-a-\sqrt{12-3a^2}}{2},\frac{-a+\sqrt{12-3a^2}}{2}$ である。したがって $P$ の $x$ 座標と $S$ の $x$ 座標の差は $-\frac{a}{2}-\frac{-a-\sqrt{12-3a^2}}{2}=\frac{\sqrt{12-3a^2}}{2}$ である。

ここで $(u,v)=(x,y-x)$ とおく。この変換では，縦方向の長さを変えず，横に平行移動させるだけなので面積は保たれる。また直線 $y=x+c$ は $v=c$ という水平線になる。線分 $PS$ は $v=c=a^3-3a$ 上の水平線分になり，その長さは上で求めた $\frac{\sqrt{12-3a^2}}{2}$ である。 $1<a<2$ において $\frac{dc}{da}=3a^2-3>0$ であるから，$c$ は単調に増加する。よって求める面積 $A$ は $A={\int }_1^2\frac{\sqrt{12-3a^2}}{2}(3a^2-3)da$ である。$a=2\sin \varphi$ とおくと，$a=1$ で $\varphi =\frac{\pi }{6}$，$a=2$ で $\varphi =\frac{\pi }{2}$ であり，$\sqrt{12-3a^2}=2\sqrt{3}\cos \varphi ,da=2\cos \varphi d\varphi$ である。したがって

である。ここで

だから

となる。したがって求める面積は $\frac{27}{8}$ である。