問題
を正の整数，を0以上の整数とする。
(1) のとき不等式が成り立つことを示せ。
(2) 不等式を満たすをすべて求めよ。
(3) 等式を満たすの組をすべて求めよ。
出典：東北大学 2020年度 前期日程 第2次学力試験 文理共通 前期 文系第2問・理系第3問
方針
(1)はを基点に、倍した仮定と次の左辺との差を直接評価する。指数不等式がで完全に決まれば、(2)はの確認に帰着する。(3)は右辺のが0以上であることから、(2)で残っただけを調べ、一次不定方程式を非負整数条件で列挙する。
解答
(1)
のとき である。あるで が成り立つと仮定する。このとき
ここでよりかつであるから、最後の式は正である。したがって が従う。数学的帰納法により、すべてので不等式は成り立つ。
(2)
では であり、では である。一方、(1)よりでは となるので、求めるは である。
(3)
与えられた等式は と書ける。は0以上の整数だから左辺は0以上であり、右辺も0以上でなければならない。よって(2)によりだけを調べればよい。
のとき である。したがって を得る。
のとき である。が0以上の整数であるから、に限られ、 となる。
以上より、求める組は
である。
別解。
(1)は差を用いてもよい。であり、では となる。実際、とおくと、であり、である。よってとなり、は正のまま増加する。この見方でもで右辺が左辺を上回ることが分かり、以後は同じくのみを調べればよい。