東北大学 2019年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

(1) 次の等式が成り立つことを示せ。

\int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x = \frac{1}{2}

(2) 次の等式を満たす関数 $f (x)$ を求めよ。

(1 + e^{x}) f (x) = sin^{2} (π x) + \int_{- 1}^{1} (e^{x} - e^{t} + 1) f (t) d t

出典：東北大学 2019年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

(1)は $x$ と $- x$ を組にする対称性を使う。 $sin^{2} (π x)$ は偶関数で、分母は $1 + e^{x}$ と $1 + e^{- x}$ が補い合うため、2倍すると単純な積分になる。(2)は $A = \int f$ 、 $B = \int e^{t} f (t) d t$ を導入して、与式を $f (x) = A + \frac{s i n ^{2} ( π x ) - B}{1 + e ^{x}}$ に直す。あとは(1)と同じ対称性で $A, B$ の連立一次方程式を作る。

解答

(1)

$I = \int_{- 1}^{1} \frac{s i n ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x$ とおく。 $x$ を $- x$ に置き換えると、 $sin^{2} (π x)$ は偶関数なので

I = \int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{- x}} d x = \int_{- 1}^{1} \frac{e ^{x} sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x

である。2つの式を加えると $2 I = \int_{- 1}^{1} sin^{2} (π x) d x$ である。さらに $sin^{2} (π x)$ は偶関数だから

\int_{- 1}^{1} sin^{2} (π x) d x = 2 \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1

である。したがって $I = \frac{1}{2}$ であり、

\int_{- 1}^{1} \frac{sin ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \int_{0}^{1} sin^{2} (π x) d x = \frac{1}{2}

が成り立つ。

(2)

$A = \int_{- 1}^{1} f (t) d t, B = \int_{- 1}^{1} e^{t} f (t) d t$ とおく。与式の積分部分は $\int_{- 1}^{1} (e^{x} - e^{t} + 1) f (t) d t = A e^{x} - B + A$ である。したがって $(1 + e^{x}) f (x) = sin^{2} (π x) + A (1 + e^{x}) - B$ であり、 $f (x) = A + \frac{s i n ^{2} ( π x ) - B}{1 + e ^{x}}$ となる。

まず両辺を $- 1$ から1まで積分する。対称性より $\int_{- 1}^{1} \frac{1}{1 + e ^{x}} d x = 1$ であり、(1)より $\int_{- 1}^{1} \frac{s i n ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \frac{1}{2}$ である。よって $A = 2 A + \frac{1}{2} - B$ すなわち $B = A + \frac{1}{2}$ である。

次に両辺に $e^{x}$ を掛けて積分する。 $\frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} = 1 - \frac{1}{1 + e ^{x}}$ なので $\int_{- 1}^{1} \frac{e ^{x}}{1 + e ^{x}} d x = 1$ であり、また(1)と同様に $\int_{- 1}^{1} \frac{e ^{x} s i n ^{2} ( π x )}{1 + e ^{x}} d x = \frac{1}{2}$ である。したがって $B = A (e - e^{- 1}) + \frac{1}{2} - B$ すなわち $2 B = A (e - e^{- 1}) + \frac{1}{2}$ である。

連立して解く。 $D = e^{2} - 2 e - 1$ とおくと $A = \frac{e}{2 D}, B = \frac{e ^{2} - e - 1}{2 D}$ である。よって求める関数は

f (x) = \frac{e}{2 D} + \frac{sin ^{2} ( π x ) - \frac{e ^{2} - e - 1}{2 D}}{1 + e ^{x}}

ただし $D = e^{2} - 2 e - 1$ である。

東北大学 2019年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2019年度
理系数学前期第5問