東北大学 2019年度
理系数学 前期 第3問

解答

(1)

$a>0$ とする。$x_1=a>0$ であり、$x_n>0$ なら $x_{n+1}=x_n+x_n^2>x_n>0$ である。したがって帰納法により、すべての $n$ で $x_n>0$ かつ $x_n\geqq a$ である。

さらに $x_{n+1}-x_n=x_n^2\geqq a^2$ だから、$x_n\geqq a+(n-1)a^2$ である。右辺は $n\to \infty$ で無限大へ発散するので、$\boxed{x_n\to \infty }$ である。したがって数列 $\{x_n\}$ は発散する。

(2)

$-1<a<0$ とする。$x_1=a$ なので $-1<x_1<0$ である。いま $-1<x_n<0$ と仮定すると $0<1+x_n<1$ であり、$x_{n+1}=x_n(1+x_n)$ である。ここで $x_n<0$、$1+x_n>0$ だから $x_{n+1}<0$ である。また $|x_{n+1}|=|x_n|(1+x_n)<|x_n|<1$ なので $x_{n+1}>-1$ である。したがって $-1<x_{n+1}<0$ である。数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ について $\boxed{-1<x_n<0}$ が成り立つ。

(3)

(2)より $x_n<0$ であり、また $x_{n+1}-x_n=x_n^2>0$ なので、数列 $\{x_n\}$ は単調増加である。さらに $x_n<0$ だから上に有界である。よって極限 $L$ が存在する。

漸化式の両辺で極限を取ると $L=L+L^2$ である。したがって $L^2=0$ より $\boxed{\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0}$ である。