東北大学 2019年度
理系数学 前期 第4問

解答

(1)

$x^2+1$ で割った余りを考えるので、余りの計算では $x^2\equiv -1$ としてよい。したがって $[2x^2+x+3]=[-2+x+3]=\boxed{x+1}$ である。また $x^4\equiv 1$ より $x^5\equiv x$ なので $[x^5-1]=\boxed{x-1}$ である。さらに $[[2x^2+x+3][x^5-1]]=[(x+1)(x-1)]=[x^2-1]=\boxed{-2}$ である。

(2)

整式 $A(x)$ を $x^2+1$ で割ると $A(x)=[A(x)]+(x^2+1)Q(x)$ と書ける。同様に $B(x)=[B(x)]+(x^2+1)R(x)$ と書ける。これらを掛けると、$A(x)B(x)$ と $[A(x)][B(x)]$ の差は $x^2+1$ の倍数である。したがって、この2つを $x^2+1$ で割った余りは等しい。よって $\boxed{[A(x)B(x)]=[[A(x)][B(x)]]}$ である。

(3)

左辺を展開して余りを取ると

である。したがって示す等式が成り立つ。

(4)

まず $(a,b)=(0,0)$ は左辺が0になるので不適である。そこで $a=r\sin \theta ,b=r\cos \theta ,r>0$ とおく。このとき $ax+b=r(x\sin \theta +\cos \theta )$ である。(3)と(2)を用いると $[(ax+b{)}^4]=r^4[x\sin 4\theta +\cos 4\theta ]$ である。これが $-1$ に等しいためには $r^4\sin 4\theta =0,r^4\cos 4\theta =-1$ でなければならない。よって $r=1$ かつ $\sin 4\theta =0,\cos 4\theta =-1$ である。したがって $4\theta =(2m+1)\pi$ となり、$\sin \theta ,\cos \theta$ は $\left(\pm \frac{1}{\sqrt{2}},\pm \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ の4通りを取る。よって

である。

別解。

(4)は代数的にも解ける。まず $[(ax+b{)}^2]=2abx+b^2-a^2$ である。$u=2ab$、$v=b^2-a^2$ とおくと $[(ax+b{)}^4]=[(ux+v{)}^2]=2uvx+v^2-u^2$ である。これが $-1$ となるには $uv=0,v^2-u^2=-1$ が必要である。$u=0$ なら $v^2=-1$ となり不可能である。よって $v=0$ であり、$b^2=a^2$ である。このとき $u=2ab=\pm 2a^2$ だから $-u^2=-1$ より $4a^4=1$、すなわち $a^2=\frac{1}{2}$ である。したがって $b=\pm a$ と合わせて、上と同じ4通りを得る。