問題
平面において，放物線の2つの接線，が点において直交するとする。ただし，の傾きはの傾きより大きいとする。
(1) 点の座標をとするとき，接線，の傾きをそれぞれ求めよ。
(2) 放物線と接線，の接点をそれぞれ，とする。の面積が8となるような点の座標をすべて求めよ。
出典：東北大学 2019年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
放物線 の における接線をパラメータ表示する。2接線の接点を とすると、直交条件は 、交点の 座標は になる。面積は、接線2本の交点 と接点 の座標を で表して行列式で求め、 を用いて に整理する。
解答
(1)
放物線 の における接線を求める。導関数は なので、傾きは である。接点は だから、接線は である。
2つの接点の 座標を とする。2接線が直交するので、傾きの積から である。また2接線の交点の 座標を とすると より である。したがって は の2解であり、 である。接線の傾きはそれぞれ である。 の傾きが の傾きより大きいので の傾きはそれぞれ である。
(2)
交点 の 座標を求める。 を接線 に代入すると である。したがって である。
接点は である。三角形の面積を行列式で求めると
である。ここで だから である。
これが8に等しいので であり、 となる。したがって である。よって求める点 は である。