東北大学 2019年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

次の等式を満たす実数 $a$ をすべて求めよ。

\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \frac{1}{3}

出典：東北大学 2019年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

$x^{2} - a x = x (x - a)$ の符号が変わる位置によって、 $a ≦ 0$ 、 $0 ≦ a ≦ 1$ 、 $a ≧ 1$ の3つに分ける。それぞれ絶対値を外して積分し、得られた方程式をその場合の範囲条件と照合する。境界 $a = 0, 1$ は重複してよいが、最後に解として残るかを確認する。

解答

$x^{2} - a x = x (x - a)$ である。区間 $[0, 1]$ での符号は $a$ の位置によって変わる。

1. $a ≦ 0$ の場合

このとき $0 ≦ x ≦ 1$ で $x - a ≧ 0$ だから $x^{2} - a x ≧ 0$ である。よって $\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \int_{0}^{1} (x^{2} - a x) d x = \frac{1}{3} - \frac{a}{2}$ である。これが $\frac{1}{3}$ に等しいので $a = 0$ を得る。これは $a ≦ 0$ を満たす。

2. $0 ≦ a ≦ 1$ の場合

$0 < x < a$ では $x^{2} - a x < 0$ 、 $a < x < 1$ では $x^{2} - a x > 0$ である。したがって

\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \int_{0}^{a} (a x - x^{2}) d x + \int_{a}^{1} (x^{2} - a x) d x = \frac{1}{3} - \frac{a}{2} + \frac{a ^{3}}{3}

である。これが $\frac{1}{3}$ に等しい条件は $- \frac{a}{2} + \frac{a ^{3}}{3} = 0$ すなわち $a (2 a^{2} - 3) = 0$ である。 $0 ≦ a ≦ 1$ で残るのは $a = 0$ だけである。

3. $a ≧ 1$ の場合

このとき $0 ≦ x ≦ 1$ で $x - a ≦ 0$ だから $x^{2} - a x ≦ 0$ である。よって $\int_{0}^{1} ∣ x^{2} - a x ∣ d x = \int_{0}^{1} (a x - x^{2}) d x = \frac{a}{2} - \frac{1}{3}$ である。これが $\frac{1}{3}$ に等しいので $\frac{a}{2} = \frac{2}{3}$ より $a = \frac{4}{3}$ を得る。これは $a ≧ 1$ を満たす。

以上より、求める実数は $a = 0, \frac{4}{3}$ である。

東北大学 2019年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

1. a≦0 の場合

2. 0≦a≦1 の場合

3. a≧1 の場合

東北大学 2019年度
後期・文系数学後期第1問

1. $a ≦ 0$ の場合

2. $0 ≦ a ≦ 1$ の場合

3. $a ≧ 1$ の場合