問題
空間内に四面体がある。辺の中点を，辺の中点をとする。を0でない実数とし，点を
を満たす点とする。
(1) を，，で表せ。
(2) 点は点と一致しないことを示せ。
(3) 直線と直線は平行であることを示せ。
出典：東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第4問
方針
点 を基準にして、 を用いて全てのベクトルを表す。与えられた式は などに直すと、 が一意に求まる。(2)は と仮定すると となり、四面体の非退化性に反することを示す。(3)は と を比較する。
解答
(1)
とおく。このとき
である。与えられた式に代入すると
となる。 の係数は であるから である。 より
である。
(2)
点 は辺 の中点なので である。もし なら、(1)の式から である。両辺に を掛けると すなわち となる。
これは を意味する。左辺は辺 の中点 の からの位置ベクトルであるから、 が の中点と一致することになる。これは四面体 であることに反する。したがって である。
(3)
(1)と より
である。
一方、 は辺 の中点なので である。したがって
である。よって である。 であり、(2)より だから、直線 と直線 は平行である。