問題
平面における2つの放物線，を考える。
(1) とが2点で交わり，その2交点の座標の差が1となるように実数，が動くとき，の頂点の軌跡を図示せよ。
(2) 実数，が(1)の条件を満たすとき，との2交点を結ぶ直線は，放物線に接することを示せ。
方針
交点の 座標を、2次方程式の2解として扱う。2つの放物線を等置すると となるので、解の差が1である条件を判別式と係数から表す。頂点の軌跡は の関係式として得る。(2)では2交点を とおき、放物線 上の2点を結ぶ直線の式を解と係数の関係で出し、別の放物線の接線式と一致することを示す。
解答
(1)
2つの放物線の交点の 座標は を満たす。整理すると である。この2解を とする。異なる2点で交わるので であり、条件は である。
解と係数の関係より である。したがって である。これが1に等しいから すなわち である。
よって頂点 の軌跡は である。これは下に開く放物線全体である。任意の実数 に対して上の を取れば となるので、除く点はない。
(2)
2交点の 座標を とする。(1)より である。2交点は放物線 上にあるから、座標は である。これらを結ぶ直線の傾きは である。したがって直線は と書ける。点 を代入すると である。よって2交点を結ぶ直線は である。
一方、放物線 の における接線を求める。接点の 座標は であり、傾きは である。したがって接線は である。これは上で得た直線と一致する。よって、2交点を結ぶ直線は放物線 に接する。
別解。2交点の 座標を、中心 を用いて 、 とおいてもよい。このとき和は なので である。また積は であり、解と係数の関係から同じく が出る。2点を結ぶ直線の傾きは となるので、接線の確認も同じ計算で進められる。