東北大学 2018年度
文系数学 前期 第3問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 積分、関数
- 解法
- 面積計算、微分による最大最小、場合分け
- 難易度
- 6 / 10 計算量 6 / 10 目安 —
問題
実数aは0<a<4を満たすとする。xy平面の直線l:y=axと曲線
C:y={−x2+4x9a(x−4)(x<4のとき)(x≧4のとき)
を考える。Cとlで囲まれた図形の面積をS(a)とおく。
(1) Cとlの交点の座標を求めよ。
(2) S(a)を求めよ。
(3) S(a)の最小値を求めよ。
出典：東北大学 2018年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
曲線 C は x=4 を境に式が変わるため、交点も2つの式で別々に求める。0<a<4 により、放物線部分との交点 x=0,4−a はどちらも x<4 の範囲に入る。面積は、上下関係が変わる x=4−a と曲線の式が変わる x=4 で分割して積分する。最後は得た3次式を微分し、開区間 0<a<4 での最小を調べる。
解答
(1)
まず x<4 の部分で交点を求める。 −x2+4x=ax より x(−x+4−a)=0 である。したがって x=0,x=4−a である。0<a<4 なので、どちらも x<4 の範囲に入る。
次に x≧4 の部分では 9a(x−4)=ax である。a>0 より両辺を a で割って 9x−36=x となるから x=29 である。これは x≧4 を満たす。
したがって交点は
(0,0),(4−a,a(4−a)),(29,29a)
である。
(2)
0<x<4−a では (−x2+4x)−ax=x(4−a−x)>0 なので、曲線 C が直線 l より上にある。4−a<x<4 では直線 l が上である。また 4<x<29 では ax−9a(x−4)=a(36−8x)>0 なので、直線 l が上である。
よって面積は
S(a)=∫04−a{−x2+(4−a)x}dx+∫4−a4{x2+(a−4)x}dx+∫49/2a(36−8x)dx
である。各項を計算すると ∫04−ax(4−a−x)dx=6(4−a)3 であり、残りも整理して S(a)=3−a3+12a2−21a+32 を得る。
(3)
微分すると S′(a)=−a2+8a−7=−(a−1)(a−7) である。0<a<4 では、0<a<1 で S′(a)<0、1<a<4 で S′(a)>0 である。したがって S(a) は a=1 で最小となる。
このとき S(1)=3−1+12−21+32=322 である。よって最小値は 322 である。
