東北大学 2016年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面において $O (0, 0)$ ， $A (1, 0)$ ， $B (0, 3)$ ， $C (- 1, 0)$ とする。 $0 < t < 1$ とし，線分 $A B$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $P$ ，線分 $B C$ を $t : 1 - t$ に内分する点を $Q$ ， $θ = ∠ P O Q$ とする。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $T = t (1 - t)$ とするとき， $cos θ$ を $T$ で表せ。

(2) $t$ が $0 < t < 1$ を動くとき， $θ$ の最小値を求めよ。

出典：東北大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

点 $P, Q$ の座標を内分公式で表し，内積 $O P \cdot O Q$ と長さの積を計算する。 $T = t (1 - t)$ を使うと式が対称にまとまり， $cos θ$ が $T$ だけで表せる。(2)は $0 < t < 1$ から $0 < T ≦ 1/4$ を得て， $cos θ$ がこの範囲で増加することを二乗して確認する。 $θ$ の最小は $cos θ$ の最大に対応する。

解答

(1)

点 $P$ は線分 $A B$ を $t : 1 - t$ に内分するので $P = (1 - t) A + tB = (1 - t, 3 t)$ である。また点 $Q$ は線分 $B C$ を $t : 1 - t$ に内分するので $Q = (1 - t) B + tC = (- t, 3 (1 - t))$ である。

したがって

O P \cdot O Q = (1 - t) (- t) + 3 t \cdot 3 (1 - t) = 2 t (1 - t)

である。 $T = t (1 - t)$ とおくと $O P \cdot O Q = 2 T$ である。

また $∣ O P ∣^{2} = (1 - t)^{2} + 3 t^{2} = 1 - 2 t + 4 t^{2}$ であり， $∣ O Q ∣^{2} = t^{2} + 3 (1 - t)^{2} = 3 - 6 t + 4 t^{2}$ である。積を整理すると $∣ O P ∣^{2} ∣ O Q ∣^{2} = 16 T^{2} - 12 T + 3$ となる。よって

cos θ = \frac{O P \cdot O Q}{∣ O P ∣∣ O Q ∣} = \frac{2 T}{16 T ^{2} - 12 T + 3}

である。

(2)

$0 < t < 1$ より $0 < T = t (1 - t) ≦ \frac{1}{4}$ である。 $cos θ > 0$ なので， $cos θ$ の大小はその2乗の大小で調べられる。 $cos^{2} θ = \frac{4 T ^{2}}{16 T ^{2} - 12 T + 3}$ とおく。分母は $∣ O P ∣^{2} ∣ O Q ∣^{2}$ なので正である。これを $T$ で微分すると

\frac{d}{d T} (\frac{4 T ^{2}}{16 T ^{2} - 12 T + 3}) = \frac{4 T ( 3 - 6 T )}{( 16 T ^{2} - 12 T + 3 ) ^{2}}

である。 $0 < T ≦ 1/4$ では $4 T (3 - 6 T) > 0$ なので， $cos^{2} θ$ ，したがって $cos θ$ は増加する。

よって $θ$ が最小となるのは， $cos θ$ が最大となる $T = \frac{1}{4}$ のときである。このとき

cos θ = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{16 \cdot \frac{1}{16} - 12 \cdot \frac{1}{4} + 3} = \frac{\frac{1}{2}}{1} = \frac{1}{2}

である。 $0 < θ < π$ より $θ = \frac{π}{3}$ であり，これが最小値である。

東北大学 2016年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2016年度
後期・文系数学後期第4問