問題
連立不等式
の表す領域をとおく。このとき，以下の問いに答えよ。
(1) 領域の概形を図示せよ。
(2) 直線とが共有点をもつときの直線の傾きのとりうる値の範囲を求めよ。
出典：東北大学 2016年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
(1)は単位円の内部のうち，放物線以上にある部分として図示する。境界は下側が放物線弧，上側が単位円の上半円弧で，交点はのうち実際の境界を確認する。(2)の直線は固定点を通るので，に接する限界の傾きを求める。下限は放物線への接線，上限は単位円への上側接線で決まる。
解答
(1)
領域は で表される単位円の内部で，さらに を満たす部分である。
境界の交点を調べる。を円に代入すると であり， すなわち である。対応する点は である。したがっては，単位円の内部のうち，放物線の上側にある部分である。下の境界はからを通ってへ至る放物線，外側の境界は単位円の上側の弧である。
(2)
直線 は，によらず点 を通る。したがって，と共有点をもつの範囲は，点からを見込む直線の傾きの範囲である。
まず下限を求める。下側の境界である放物線に接するときが下限である。直線と放物線の交点は すなわち である。接する条件は判別式が0であることだから すなわち である。よって である。を下から支える接線の傾きは正の方なので である。
次に上限を求める。上側では単位円に接する直線が限界となる。直線を と書くと，これが単位円に接する条件は，原点から直線までの距離が1であることだから である。両辺を2乗して すなわち である。したがって である。このうちの上側に接する直線の傾きは大きい方なので である。
以上より，求める範囲は である。端の値では直線が境界に接し，実際にと共有点をもつので等号を含む。