東北大学 2016年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

$a$ ， $b$ ， $c$ を正の実数で， $ab c = 1$ を満たすものとする。このとき，次の(1)，(2)の不等式を示せ。

(1) $a^{2} + b^{2} + c^{2} ≧ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ a + b + c$

(2) $a + b + c ≧ 3$

出典：東北大学 2016年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

$ab c = 1$ から $1/ a = b c$ ， $1/ b = c a$ ， $1/ c = ab$ と直し，最初の不等式は平方差の和に変形する。2つ目の不等式は， $A = 1/ a$ ， $B = 1/ b$ ， $C = 1/ c$ と置けば同じ形に帰着できる。(2)は正の実数に対する相加相乗平均を用い，等号成立条件も確認する。

解答

(1)

$ab c = 1$ より $\frac{1}{a} = b c, \frac{1}{b} = c a, \frac{1}{c} = ab$ である。したがって $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = ab + b c + c a$ である。ここで

a^{2} + b^{2} + c^{2} - (ab + b c + c a) = \frac{1}{2} {(a - b)^{2} + (b - c)^{2} + (c - a)^{2}} ≧ 0

なので $a^{2} + b^{2} + c^{2} ≧ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ である。

次に $A = \frac{1}{a}, B = \frac{1}{b}, C = \frac{1}{c}$ とおく。すると $A B C = 1$ であり，先ほどと同じ議論から $A^{2} + B^{2} + C^{2} ≧ A B + B C + C A$ である。左辺は $A^{2} + B^{2} + C^{2} = \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ であり，また $ab c = 1$ より $A B = \frac{1}{ab} = c, B C = a, C A = b$ である。したがって $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ a + b + c$ である。

以上より $a^{2} + b^{2} + c^{2} ≧ \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} ≧ a + b + c$ が成り立つ。

(2)

$a, b, c$ は正の実数なので，相加相乗平均より $\frac{a + b + c}{3} ≧ 3 ab c$ である。 $ab c = 1$ だから $a + b + c ≧ 3$ である。等号は $a = b = c = 1$ のときに成り立つ。

別解。(2)は(1)とは独立に相加相乗平均で示すのが最短である。一方，(1)の最初の不等式は $a, b, c$ のばらつきが大きいほど左辺が大きくなることを平方の和で表している，と見ると等号条件も自然に分かる。

東北大学 2016年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2016年度
後期・文系数学後期第1問