問題
ある工場で作る部品A，B，Cはネジをそれぞれ7個，9個，12個使っている。出荷後に残ったこれらの部品のネジをすべて外したところ，ネジが全部で54個あった。残った部品A，B，Cの個数をそれぞれとして，可能性のある組をすべて求めよ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第3問
方針
部品数は負でない整数なので，まず方程式を立てる。係数のうちが3の倍数であることから，が3の倍数に限られることを使って候補を絞る。あとはについて一次方程式を解き，が負でない整数になるものだけを残す。
解答
残った部品A，B，Cの個数をそれぞれとすると，ネジの総数は である。ここではいずれも3の倍数なので である。だから である。
またよりである。したがって だけを調べればよい。 のとき すなわち である。を調べると，が整数になるのは である。 のとき すなわち である。これを満たす負でない整数解は である。 のとき すなわち である。これを満たす負でない整数解は である。
以上より，求める組は である。
別解。 を先に固定してもよい。よりであり，それぞれ を解く。右辺を9で割った余りに注目するとで候補がすぐ絞れ，同じ4組だけが残る。