問題
放物線を考える。以下の問いに答えよ。
(1) 関数のグラフが放物線と共有点をもつような実数の範囲を求めよ。
(2) を実数とする。関数のグラフが放物線と共有点をちょうど4個もつような点全体のなす領域を平面に図示せよ。
(3) (2)で求めた領域の面積を求めよ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
(1)はとして放物線との交点条件を1変数の最大値に直す。(2)は折れ線の右半直線と左半直線を分け，それぞれが放物線と2点で交わる条件を，判別式と2解が正しい側にある条件で求める。4個の共有点にするには，頂点で接する場合や片側で1点になる端点を除く必要がある。(3)はで上下差を積分する。
解答
(1)
とおくとであり，折れ線は と書ける。放物線との共有点を考えると，なので である。これは と同値である。 で であり，右辺はで下に限りなく小さくなる。したがって共有点をもつための条件は である。
(2)
の右半直線は，で である。放物線との交点は すなわち の解である。2つの異なる交点が右半直線上にあるには，2解がともにより大きければよい。解は であるから，条件は である。後者から特にであり，平方して すなわち を得る。また判別式が正であることは である。
同様に，左半直線はで であり，交点は の解である。2解がともにより小さい条件を同様に調べると である。
したがって4個の共有点をもつ条件は である。よって領域は，放物線 の上側，折れ線 の下側で，にある部分である。境界は共有点が重なったり接したりする場合なので含まない。
(3)
領域は軸に関して対称であるから，面積をとすると である。したがって であり，
である。