問題
平面上で原点と3点，，を考える。実数に対し，点を
により定める。以下の問いに答えよ。
(1) が条件
を満たすとき，点の存在する範囲を図示せよ。
(2) 点が(1)で求めた範囲を動くとき，内積の最大値を求め，そのときのの座標を求めよ。
出典：東北大学 2016年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
の条件は平面の六角形を表すので，まずその頂点を求める。点への対応は線形変換であり，領域の頂点は頂点に移る。(2)ではを使って内積をという一次式に直し，六角形の頂点で最大値を比較する。別解として，からを消去して，直接上の一次式の最大を読むこともできる。
解答
(1)
なので である。
まずの範囲を調べる。条件 は，平面で6本の直線に囲まれた六角形を表す。その頂点は，隣り合う境界線の交点から である。
これらをで移すと，順に となる。したがってはこれら6点をこの順に結んだ六角形である。
(2)
だから
である。これはについて一次式なので，最大値は(1)で得た六角形の頂点で生じる。
各頂点での値は
である。よって最大値は であり，そのときである。このとき である。
別解。 から である。したがって条件はの不等式としても書ける。また である。六角形の各頂点でを比較すると，最大はやはり頂点で となる。