東北大学 2015年度後期・理系数学後期第6問解答・解説

問題

$n$ を自然数とし、

I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{1 + x ^{n}}, J_{n} = \int_{0}^{1} lo g (1 + x^{n} + 1) d x

とおく。ただし、対数は自然対数とする。

(1) 実数 $t ≧ 0$ に対し、次の不等式が成り立つことを示せ。

lo g (\frac{1 + t + 1}{2}) ≦ \frac{t}{2 ( 1 + t + 1 )}

(2) 次の不等式が成り立つことを示せ。

0 ≦ J_{n} - lo g 2 ≦ \frac{1}{4 ( n + 1 )}

(3) 導関数 $\frac{d}{d x} lo g (1 + x^{n} + 1)$ を求めよ。

(4) 極限値 $n \to \infty lim n (1 - I_{n})$ を求めよ。

出典：東北大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第6問

方針

(1)は $u = 1 + t$ とおき、基本不等式 $lo g X ≦ X - 1$ に帰着する。(2)は(1)を $t = x^{n}$ に適用し、 $1 + x^{n} + 1 ≧ 2$ で上から評価する。(3)は合成関数の微分である。(4)は $J_{n}$ を部分積分して、 $1 - I_{n}$ と同じ積分が現れる形に変形し、(2)から $J_{n} \to lo g 2$ を使う。

解答

(1)

$u = 1 + t$ とおくと $u ≧ 1$ であり、 $\frac{t}{2 ( 1 + t + 1 )} = \frac{u ^{2} - 1}{2 ( u + 1 )} = \frac{u - 1}{2}$ である。一方、 $X = (u + 1) /2$ とおくと $X > 0$ であり、基本不等式 $lo g X ≦ X - 1$ より $lo g \frac{u + 1}{2} ≦ \frac{u + 1}{2} - 1 = \frac{u - 1}{2}$ である。したがって

lo g (\frac{1 + t + 1}{2}) ≦ \frac{t}{2 ( 1 + t + 1 )}

が成り立つ。

(2)

$0 ≦ x ≦ 1$ では $x^{n} ≧ 0$ なので $1 + x^{n} + 1 ≧ 2$ であり、したがって $J_{n} - lo g 2 = \int_{0}^{1} lo g (\frac{1 + x ^{n} + 1}{2}) d x ≧ 0$ である。また(1)に $t = x^{n}$ を代入すると

lo g (\frac{1 + x ^{n} + 1}{2}) ≦ \frac{x ^{n}}{2 ( 1 + x ^{n} + 1 )}

である。分母は $2 (1 + x^{n} + 1) ≧ 4$ だから $lo g (\frac{1 + x ^{n} + 1}{2}) ≦ \frac{x ^{n}}{4}$ である。よって $0 ≦ J_{n} - lo g 2 ≦ \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{4} d x = \frac{1}{4 ( n + 1 )}$ である。

(3)

合成関数の微分により

\frac{d}{d x} lo g (1 + x^{n} + 1) = \frac{1}{1 + x ^{n} + 1} \cdot \frac{n x ^{n - 1}}{2 1 + x ^{n}}

である。したがって

\frac{d}{d x} lo g (1 + x^{n} + 1) = \frac{n x ^{n - 1}}{2 1 + x ^{n} ( 1 + x ^{n} + 1 )}

である。

(4)

まず $1 - I_{n}$ を変形する。

1 - I_{n} = \int_{0}^{1} (1 - \frac{1}{1 + x ^{n}}) d x = \int_{0}^{1} \frac{1 + x ^{n} - 1}{1 + x ^{n}} d x

である。分子を有理化して $1 + x^{n} - 1 = \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n} + 1}$ だから $1 - I_{n} = \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n} ( 1 + x ^{n} + 1 )} d x$ である。

次に $J_{n}$ を部分積分する。(3)より

J_{n} = [x lo g (1 + x^{n} + 1)]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \cdot \frac{n x ^{n - 1}}{2 1 + x ^{n} ( 1 + x ^{n} + 1 )} d x

である。したがって

J_{n} = lo g (2 + 1) - \frac{n}{2} \int_{0}^{1} \frac{x ^{n}}{1 + x ^{n} ( 1 + x ^{n} + 1 )} d x

である。上で得た式と比較して $J_{n} = lo g (2 + 1) - \frac{n}{2} (1 - I_{n})$ となる。よって $n (1 - I_{n}) = 2 {lo g (2 + 1) - J_{n}}$ である。

(2)より $0 ≦ J_{n} - lo g 2 ≦ \frac{1}{4 ( n + 1 )}$ だから $lim_{n \to \infty} J_{n} = lo g 2$ である。したがって

n \to \infty lim n (1 - I_{n}) = 2 {lo g (2 + 1) - lo g 2} = 2 lo g \frac{2 + 1}{2}

である。

東北大学 2015年度後期・理系数学 後期 第6問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2015年度
後期・理系数学後期第6問