東北大学 2015年度後期・理系数学後期第4問解答・解説

問題

$- 1 < x < 1$ の範囲で定義された関数 $f (x)$ で、次の2つの条件を満たすものを考える。

$f (x) + f (y) = f (\frac{x + y}{1 + x y})$ $(- 1 < x < 1, - 1 < y < 1)$

$f (x)$ は $x = 0$ で微分可能で、そこでの微分係数は1である

(1) $- 1 < x < 1$ に対し $f (x) = - f (- x)$ が成り立つことを示せ。

(2) $f (x)$ は $- 1 < x < 1$ の範囲で微分可能であることを示し、導関数 $f^{'} (x)$ を求めよ。

(3) $f (x)$ を求めよ。

出典：東北大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第4問

方針

まず $x = y = 0$ から $f (0) = 0$ を出し、 $y = - x$ で奇関数性を示す。微分可能性は、関数方程式を $f ((x + y) / (1 + x y)) - f (x) = f (y)$ と見て、 $y \to 0$ の差商を作る。与えられているのは $x = 0$ での微分可能性だけなので、ここから任意の $x$ の微分係数を導く。最後は $f^{'} (x) = 1/ (1 - x^{2})$ を積分し、 $f (0) = 0$ で定数を決める。

解答

(1)

$x = y = 0$ を代入すると $f (0) + f (0) = f (0)$ であるから $f (0) = 0$ である。次に $y = - x$ とすると、 $- 1 < x < 1$ では $\frac{x + ( - x )}{1 + x ( - x )} = 0$ である。したがって $f (x) + f (- x) = f (0) = 0$ となり、 $f (x) = - f (- x)$ である。

(2)

$- 1 < x < 1$ を固定する。 $y$ を0に近づけるとき $z = \frac{x + y}{1 + x y}$ とおくと、 $z \to x$ であり、関数方程式より $f (z) - f (x) = f (y)$ である。また $z - x = \frac{x + y - x ( 1 + x y )}{1 + x y} = \frac{( 1 - x ^{2} ) y}{1 + x y}$ である。したがって $\frac{f ( z ) - f ( x )}{z - x} = \frac{f ( y )}{y} \cdot \frac{1 + x y}{1 - x ^{2}}$ である。

条件より $f$ は0で微分可能で、 $f^{'} (0) = 1$ であり、また $f (0) = 0$ であるから $lim_{y \to 0} \frac{f ( y )}{y} = 1$ である。よって $y \to 0$ 、すなわち $z \to x$ とすると $f^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ を得る。したがって $f$ は $- 1 < x < 1$ の全体で微分可能であり、 $f^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}}$ である。

(3)

(2)より $f^{'} (x) = \frac{1}{1 - x ^{2}} = \frac{1}{2} (\frac{1}{1 + x} + \frac{1}{1 - x})$ である。 $f (0) = 0$ なので、 $0$ から $x$ まで積分して

f (x) = \int_{0}^{x} \frac{d t}{1 - t ^{2}} = \frac{1}{2} [lo g (1 + t) - lo g (1 - t)]_{0}^{x}

である。したがって $f (x) = \frac{1}{2} lo g \frac{1 + x}{1 - x}$ である。

東北大学 2015年度後期・理系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2015年度
後期・理系数学後期第4問