東北大学 2015年度後期・理系数学後期第5問解答・解説

問題

$α, β, γ$ を複素数として、 $f (t) = α t^{2} + β t + γ$ とおく。実部と虚部がどちらも整数である複素数全体の集合を $R$ とする。また、 $i$ を虚数単位とする。

(1) 次の2条件(a)，(b)は同値であることを示せ。

(a) すべての整数 $n$ に対し、 $f (n)$ は $R$ の要素である。

(b) $2 α, β - α, γ$ はすべて $R$ の要素である。

(2) $x$ が $R$ の要素ならば、 $\frac{x ( x + 1 )}{1 - i}$ は $R$ の要素であることを示せ。

(3) 次の2条件(c)，(d)は同値であることを示せ。

(d) $(1 - i) α, β - α, γ$ はすべて $R$ の要素である。

出典：東北大学 2015年度後期日程第2次学力試験後期・理系後期第5問

方針

$R$ は実部・虚部が整数である複素数、つまり加法・減法・乗法で閉じている集合である。(1)は整数値2次式を $n (n + 1) /2$ と $n$ の組で表す。(2)は $x = a + bi$ として $x (x + 1)$ の実部・虚部の偶奇が一致することを示す。(3)は(2)を使える形に $f (x) = ((1 - i) α) x (x + 1) / (1 - i) + (β - α) x + γ$ と分解し、逆向きは $x = 0, 1, - 1, i$ の代入から係数条件を取り出す。

解答

(1)

まず

f (n) = α n^{2} + β n + γ = 2 α \cdot \frac{n ( n + 1 )}{2} + (β - α) n + γ

である。 $n$ が整数なら $n (n + 1) /2$ も整数である。したがって、 $2 α, β - α, γ$ がすべて $R$ の要素なら、すべての整数 $n$ に対して $f (n)$ も $R$ の要素である。よって(b)から(a)が従う。

逆に(a)が成り立つとする。 $n = 0$ を代入して $γ = f (0) \in R$ である。また $f (1) + f (- 1) - 2 f (0) = 2 α$ だから $2 α \in R$ である。さらに $f (1) - f (0) = α + β$ であるから $β - α = (f (1) - f (0)) - 2 α \in R$ である。したがって(b)が成り立つ。以上より(a),(b)は同値である。

(2)

$x = a + bi$ とおく。ただし $a, b$ は整数である。このとき $x (x + 1) = (a + bi) (a + 1 + bi) = A + B i$ と書けば $A = a (a + 1) - b^{2}, B = b (2 a + 1)$ である。 $a (a + 1)$ は偶数なので $A \equiv - b^{2} \equiv b (mod 2)$ であり、また $B = b (2 a + 1) \equiv b (mod 2)$ である。したがって $A$ と $B$ は同じ偶奇である。

よって $\frac{x ( x + 1 )}{1 - i} = \frac{( A + B i ) ( 1 + i )}{2} = \frac{A - B}{2} + \frac{A + B}{2} i$ であり、 $A - B$ と $A + B$ はともに偶数である。したがって実部・虚部はいずれも整数であり、 $\frac{x ( x + 1 )}{1 - i} \in R$ である。

(3)

まず(d)が成り立つとする。任意の $x \in R$ に対して、(2)より $\frac{x ( x + 1 )}{1 - i} \in R$ である。また $R$ は加法と乗法で閉じている。したがって

f (x) = α x^{2} + β x + γ = (1 - i) α \cdot \frac{x ( x + 1 )}{1 - i} + (β - α) x + γ

は $R$ の要素である。よって(c)が成り立つ。

逆に(c)が成り立つとする。整数はすべて $R$ の要素なので、(1)を用いると $2 α, β - α, γ$ はいずれも $R$ の要素である。さらに $i \in R$ なので $f (i) \in R$ である。 $δ = β - α$ とおくと $δ \in R$ であり、 $f (i) = - α + β i + γ = - α + (α + δ) i + γ$ である。したがって $f (i) - γ - i δ = (i - 1) α$ は $R$ の要素である。両辺に $- 1$ を掛けても $R$ に属するので $(1 - i) α \in R$ である。よって(d)が成り立つ。

以上より(c),(d)は同値である。

東北大学 2015年度後期・理系数学 後期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2015年度
後期・理系数学後期第5問