東北大学 2015年度
文系数学 前期 第4問

解答

(1)

$f^{\prime }(t)=-12t^2+a+3$ である。$f^{\prime }(t)=0$ となる正の点は $t_0=\sqrt{\frac{a+3}{12}}$ である。$0<a\leqq 9$ のとき $0<t_0\leqq 1$ であり、$f$ は $t_0$ で最大となる。このとき $12t_0^2=a+3$ だから $f(t_0)=-4t_0^3+(a+3)t_0=-4t_0^3+12t_0^3=8t_0^3$ である。よって $M(a)=8{\left(\frac{a+3}{12}\right)}^{3/2}=\frac{(a+3{)}^{3/2}}{3\sqrt{3}}$ である。

$a\geqq 9$ のときは $t_0\geqq 1$ であり、$0\leqq t\leqq 1$ では最大は端点 $t=1$ で生じる。したがって $M(a)=f(1)=a-1$ である。$a=9$ ではどちらも8となり一致する。よって

である。

(2)

接点を $(s,g(s))$ とする。接線が原点を通る条件は、接線の傾きが $g(s)/s$ に等しいことなので $g^{\prime }(s)=\frac{g(s)}{s}$ すなわち $g(s)=s{g}^{\prime }(s)$ である。

$0<s\leqq 9$ のとき $g(s)=M(s{)}^2=\frac{(s+3{)}^3}{27}$ であり、$g^{\prime }(s)=\frac{(s+3{)}^2}{9}$ である。したがって $\frac{(s+3{)}^3}{27}=s\frac{(s+3{)}^2}{9}$ より、$s+3=3s$、すなわち $s=\frac{3}{2}$ を得る。これは $0<s\leqq 9$ を満たす。

$s\geqq 9$ のときは $g(s)=(s-1{)}^2$ であり、条件は $(s-1{)}^2=2s(s-1)$ である。$s\geqq 9$ では $s-1\ne 0$ だから $s-1=2s$ となり、解はない。

よって $\boxed{s=\frac{3}{2}}$ である。接線の傾きは $\frac{g(s)}{s}=g^{\prime }(s)=\frac{(s+3{)}^2}{9}$ に $s=3/2$ を代入して $\boxed{\frac{9}{4}}$ である。

(3)

$k>0$ なので、$k^2=M(a{)}^2/a$ を最小化すればよい。

$0<a\leqq 9$ のとき $k^2=\frac{(a+3{)}^3}{27a}$ である。この対数微分に相当する計算として $\frac{d}{da}\log k^2=\frac{3}{a+3}-\frac{1}{a}=\frac{2a-3}{a(a+3)}$ なので、$a=3/2$ で最小となる。このとき $k^2=\frac{(9/2{)}^3}{27\cdot 3/2}=\frac{9}{4}$ であり、$k=3/2$ である。

$a\geqq 9$ のとき $k^2=\frac{(a-1{)}^2}{a}=a-2+\frac{1}{a}$ である。$a\geqq 9$ ではこれは増加し、最小でも $a=9$ のとき $k=\frac{8}{3}$ である。したがって全体の最小値は $\boxed{\frac{3}{2}}$ である。

別解。(3)の $0<a\leqq 9$ では、$k^2=(a+3{)}^3/(27a)$ を直接微分してもよい。分子は $(a+3{)}^2(2a-3)$ を因子にもつため、同じく $a=3/2$ で最小と分かる。