東北大学 2015年度
文系数学 前期 第3問

解答

(1)

判別式は $D=p_2^2-4\cdot 2p_1\cdot 2p_3=p_2^2-16p_1{p}_3$ である。実数解をもつ条件は $D\geqq 0$ である。$p_2\leqq 6$ なので $p_2^2\leqq 36$ であり、$16p_1{p}_3\leqq 36$、すなわち $p_1{p}_3\leqq 2$ の場合だけを調べればよい。

$p_1{p}_3=1$ の場合は $(p_1,p_3)=(1,1)$ であり、$p_2^2\geqq 16$ だから $p_2=4,5,6$ の3通りである。$p_1{p}_3=2$ の場合は $(p_1,p_3)=(1,2),(2,1)$ であり、$p_2^2\geqq 32$ だから $p_2=6$ のみである。したがって有利な出方は $3+1+1=5$ 通りである。全事象は $6^3=216$ 通りなので、求める確率は $\boxed{\frac{5}{216}}$ である。

(2)

解と係数の関係より $\alpha \beta =\frac{2p_3}{2p_1}=\frac{p_3}{p_1}$ である。したがって $\alpha \beta =1$ となるには $p_1=p_3$ が必要十分である。

$p_1=p_3=r$ とする。$r=1$ のとき、非実数解をもつ条件は $p_2^2-16<0$ なので $p_2=1,2,3$ の3通りである。$r=2,3,4,5,6$ のときは $16r^2\geqq 64>p_2^2$ であるから、$p_2=1,2,\dots ,6$ のすべてで非実数解をもつ。したがって有利な出方は $3+5\cdot 6=33$ 通りである。よって確率は $\boxed{\frac{33}{216}=\frac{11}{72}}$ である。

別解。(1)は $p_1{p}_3$ の表を作るとさらに短い。$p_1{p}_3\geqq 3$ なら $16p_1{p}_3\geqq 48>36\geqq p_2^2$ なので不可能であり、積が1または2の欄だけを数えればよい。