東北大学 2015年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

次の性質をもつ数列 ${a_{n}}$ を考える。

$a_{1} = 3$

$a_{n + 1} > a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

$a_{n}^{2} - 2 a_{n} a_{n + 1} + a_{n + 1}^{2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1})$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$

(1) $n = 1, 2, 3, \dots$ に対し、 $a_{n} + a_{n + 2}$ を $a_{n + 1}$ を用いて表せ。

(2) $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ $(n = 1, 2, 3, \dots)$ により定まる数列 ${b_{n}}$ の一般項を求めよ。

(3) 数列 ${a_{n}}$ の一般項を求めよ。

出典：東北大学 2015年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

与式は階差 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ を使うと $b_{n}^{2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1})$ となる。まず隣り合う式を比較して $b_{n + 1} = b_{n} + 3$ を導く。(1)はこの階差の差から $a_{n} + a_{n + 2}$ を表し、(2)(3)は $b_{1}$ を求めて等差数列の和を取る。

解答

与式は $(a_{n + 1} - a_{n})^{2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1})$ と書ける。以下、 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ とおく。条件より $b_{n} > 0$ である。

(1)

$b_{n} = a_{n + 1} - a_{n}$ を用いると $b_{n}^{2} = 3 (a_{n} + a_{n + 1}) = 3 (2 a_{n} + b_{n})$ である。したがって $a_{n} = \frac{b _{n}^{2} - 3 b _{n}}{6}, a_{n + 1} = \frac{b _{n}^{2} + 3 b _{n}}{6}$ である。一方、 $n + 1$ に対して同じ式を用いると $a_{n + 1} = \frac{b _{n + 1}^{2} - 3 b _{n + 1}}{6}$ である。これらを等置して $b_{n + 1}^{2} - 3 b_{n + 1} = b_{n}^{2} + 3 b_{n}$ を得る。整理すると $(b_{n + 1} + b_{n}) (b_{n + 1} - b_{n} - 3) = 0$ である。 $b_{n + 1} + b_{n} > 0$ だから $b_{n + 1} = b_{n} + 3$ である。

よって $a_{n} + a_{n + 2} = a_{n} + (a_{n + 1} + b_{n + 1}) = 2 a_{n + 1} + (b_{n + 1} - b_{n}) = 2 a_{n + 1} + 3$ である。したがって $a_{n} + a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + 3$ である。

(2)

上で示したように $b_{n + 1} = b_{n} + 3$ であるから、 ${b_{n}}$ は公差3の等差数列である。初項 $b_{1}$ を求める。 $a_{1} = 3$ であり、 $a_{2} = 3 + b_{1}$ だから $b_{1}^{2} = 3 (a_{1} + a_{2}) = 3 (6 + b_{1})$ である。よって $b_{1}^{2} - 3 b_{1} - 18 = 0, (b_{1} - 6) (b_{1} + 3) = 0$ である。 $b_{1} > 0$ より $b_{1} = 6$ である。したがって $b_{n} = 6 + 3 (n - 1) = 3 n + 3$ である。

(3)

$a_{n}$ は $a_{1} = 3$ から階差 $b_{j}$ を足して $a_{n} = 3 + \sum_{j = 1}^{n - 1} b_{j} = 3 + \sum_{j = 1}^{n - 1} (3 j + 3)$ である。ゆえに $a_{n} = 3 + 3 \frac{( n - 1 ) n}{2} + 3 (n - 1) = \frac{3 n ( n + 1 )}{2}$ である。よって $a_{n} = \frac{3 n ( n + 1 )}{2}$ である。

東北大学 2015年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2015年度
文系数学前期第1問