問題
放物線に対して，次の2つの条件を満たす直線が通る点の存在範囲を求めよ。
(i) とは異なる2点で交わる。
(ii) とで囲まれた領域の面積は36である。
出典：東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
直線を とおき、放物線 との交点の 座標を とする。囲まれた面積は、交点間で直線が放物線の上にあるため であり、2次式の根の間隔だけで と表せる。面積36から を得て、交点方程式の判別式 と結びつける。最後に、点 を通る直線が存在する条件を、 を満たす実数 の存在条件として最大値で判定する。
解答
直線 を とおく。放物線 との交点の 座標を とする。条件 (i) より は相異なる実数である。
交点では すなわち が成り立つ。したがって はこの2次方程式の2解であり である。
交点間では直線が放物線より上にあるので、囲まれた面積は である。ここで と書ける。よって
である。条件 (ii) よりこの値が36なので すなわち である。
一方、2次方程式 の2解の差は判別式の平方根に等しいので である。 より したがって である。
つまり条件を満たす直線は と表される。点 がこのような直線のどれかを通るためには、ある実数 が存在して となればよい。右辺を の2次関数として見ると であり、これは上に凸の放物線である。最大値は のとき である。下向きの2次関数なので、実数 を動かしたとき右辺は のすべての値を取る。
したがって求める点の存在範囲は である。境界 上の点も、 とすれば実現するので含まれる。