東北大学 2014年度後期・文系数学後期第1問解答・解説

問題

次の不等式の表す領域を $x y$ 平面に図示せよ。

lo g_{10} (\frac{10 ^{x} \times 10 ^{y}}{10} + 10000 \times \frac{100 ^{x}}{100 ^{y}} - 1000 \times \frac{10 ^{3 x}}{10 ^{y}}) ≧ 0

出典：東北大学 2014年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第1問

方針

まず対数の中身を10の指数で整理する。 $1 0^{x} 1 0^{y} /10 = 1 0^{x + y - 1}$ 、 $10000 \cdot 10 0^{x} /10 0^{y} = 1 0^{2 x - 2 y + 4}$ 、 $1000 \cdot 1 0^{3 x} /1 0^{y} = 1 0^{3 x - y + 3}$ であり、最後の指数は前2つの指数の和になる。そこで $u = x + y - 1$ 、 $v = 2 x - 2 y + 4$ と置くと、中身は $1 0^{u} + 1 0^{v} - 1 0^{u + v}$ になる。 $lo g_{10} T ≧ 0$ は $T ≧ 1$ と同値で、これを $(1 0^{u} - 1) (1 0^{v} - 1) ≦ 0$ に直す。

解答

対数の中身を整理する。まず $\frac{1 0 ^{x} \times 1 0 ^{y}}{10} = 1 0^{x + y - 1}$ である。また

10000 \times \frac{10 0 ^{x}}{10 0 ^{y}} = 1 0^{4} \times \frac{1 0 ^{2 x}}{1 0 ^{2 y}} = 1 0^{2 x - 2 y + 4}

であり $1000 \times \frac{1 0 ^{3 x}}{1 0 ^{y}} = 1 0^{3 x - y + 3}$ である。

ここで $u = x + y - 1, v = 2 x - 2 y + 4$ とおくと $u + v = 3 x - y + 3$ である。したがって対数の中身は $1 0^{u} + 1 0^{v} - 1 0^{u + v}$ である。

与えられた不等式は $lo g_{10} (1 0^{u} + 1 0^{v} - 1 0^{u + v}) ≧ 0$ である。底10は1より大きいので、これは $1 0^{u} + 1 0^{v} - 1 0^{u + v} ≧ 1$ と同値である。左辺を移項すると $1 0^{u} + 1 0^{v} - 1 0^{u + v} - 1 ≧ 0$ である。ここで $1 0^{u} + 1 0^{v} - 1 0^{u + v} - 1 = - (1 0^{u} - 1) (1 0^{v} - 1)$ だから、条件は $(1 0^{u} - 1) (1 0^{v} - 1) ≦ 0$ となる。

指数関数 $1 0^{w}$ は単調増加であり $1 0^{w} - 1$ の符号は $w$ の符号と一致する。したがって $(1 0^{u} - 1) (1 0^{v} - 1) ≦ 0$ は $uv ≦ 0$ と同値である。

元の $x, y$ に戻すと $(x + y - 1) (2 x - 2 y + 4) ≦ 0$ である。2は正なので $(x + y - 1) (x - y + 2) ≦ 0$ である。

よって求める領域は、2直線 $x + y = 1, x - y + 2 = 0$ にはさまれる部分である。境界線も含む。図示では、一方の直線で $x + y - 1$ の符号が変わり、もう一方で $x - y + 2$ の符号が変わるので、2つの積が0以下になる2つの対頂領域を塗ればよい。

東北大学 2014年度後期・文系数学 後期 第1問

問題

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解答

東北大学 2014年度
後期・文系数学後期第1問