問題
，を実数とし，空間に5点
をとる。線分の中点を，三角形の重心をとする。
(1) 三角形を含む平面と直線が垂直となるような，の値を求めよ。
(2) 線分の長さの最小値と，そのときの，の値を求めよ。
出典：東北大学 2014年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第2問
方針
まず平面 の方程式を切片形から と求め、法線ベクトル を使う。点 は の中点なので、、重心は である。(1) は の方向ベクトルが法線ベクトルと平行になる条件を成分比較で解く。(2) は を の2次式として展開し、平方完成または偏微分と連立一次方程式で最小値を求める。
解答
三角形 を含む平面を求める。点 を通るので、切片形から である。したがって であり、法線ベクトルは である。
また、三角形 の重心は である。線分 の中点 は
である。
(1)
直線 が平面 と垂直であるためには、方向ベクトル が法線ベクトル と平行であればよい。したがって、ある実数 を用いて と書ける。
成分を比較すると である。前2式から である。また を第3式へ代入して を得る。 より であり だから である。したがって である。よって である。
(2)
である。これを最小にすれば も最小になる。
展開して とおく。最小点では である。これを整理すると および である。後者から であり、これを前者へ代入して より である。したがって である。
このとき であり だから である。よって最小値は で、そのとき である。