東北大学 2014年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

実数 $x$ ， $y$ に対して

A = 2 sin x + sin y, B = 2 cos x + cos y

とおく。

(1) $cos (x - y)$ を $A$ ， $B$ を用いて表せ。

(2) $x$ ， $y$ が $A = 1$ を満たしながら変化するとき， $B$ の最大値と最小値，およびそのときの $sin x$ ， $cos x$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

(1) は $A^{2} + B^{2}$ を展開し、 $sin x sin y + cos x cos y = cos (x - y)$ を使って $cos (x - y)$ を取り出す。(2) は $A = 1$ を固定したとき、(1) から $B^{2}$ と $cos (x - y)$ の関係を得る。 $- 1 ≦ cos (x - y) ≦ 1$ により $B$ の範囲を出し、最大・最小が実際に達成できることを確認する。等号成立時は $cos (x - y) = 1$ 、すなわち $x$ と $y$ が同じ向きであることから $3 sin x = 1$ 、 $3 cos x = B$ を求める。

解答

(1)

$A = 2 sin x + sin y, B = 2 cos x + cos y$ である。両方を2乗して足すと

A^{2} + B^{2} = (2 sin x + sin y)^{2} + (2 cos x + cos y)^{2} = 4 (sin^{2} x + cos^{2} x) + (sin^{2} y + cos^{2} y) + 4 (sin x sin y + cos x cos y) = 4 + 1 + 4 cos (x - y) = 5 + 4 cos (x - y)

である。したがって $cos (x - y) = \frac{A ^{2} + B ^{2} - 5}{4}$ である。

(2)

$A = 1$ とする。(1)より $cos (x - y) = \frac{1 + B ^{2} - 5}{4} = \frac{B ^{2} - 4}{4}$ である。常に $- 1 ≦ cos (x - y) ≦ 1$ だから $- 1 ≦ \frac{B ^{2} - 4}{4} ≦ 1$ である。これを整理すると $0 ≦ B^{2} ≦ 8$ である。したがって $- 22 ≦ B ≦ 22$ である。

次に、この両端が実際に達成されることを確認する。 $B^{2} = 8$ となるには $\frac{B ^{2} - 4}{4} = 1$ すなわち $cos (x - y) = 1$ であればよい。これは $x$ と $y$ が同じ向き、つまり三角比が同じ値になる場合に実現できる。このとき $sin y = sin x, cos y = cos x$ であるから $A = 3 sin x, B = 3 cos x$ である。 $A = 1$ より $3 sin x = 1$ なので $sin x = \frac{1}{3}$ である。このとき $cos^{2} x = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}$ だから $cos x = \pm \frac{2 2}{3}$ である。 $cos x = 22 /3$ のとき $B = 3 cos x = 22$ であり、これが最大値である。 $cos x = - 22 /3$ のとき $B = 3 cos x = - 22$ であり、これが最小値である。

よって最大値は $22$ で、そのとき $sin x = \frac{1}{3}, cos x = \frac{2 2}{3}$ である。最小値は $- 22$ で、そのとき $sin x = \frac{1}{3}, cos x = - \frac{2 2}{3}$ である。

東北大学 2014年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2014年度
文系数学前期第4問