問題
曲線上の点における接線を，点における接線をとする。ただし，とする。との交点をとし，線分，線分および曲線で囲まれる図形の面積をとする。
(1) の座標をとを用いて表せ。
(2) をとを用いて表せ。
(3) とが垂直であるときのの最小値を求めよ。
出典：東北大学 2014年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
(1) は放物線 の接線 を用いて、2本の接線の交点を連立で求める。(2) は交点 の 座標を境に、左側は の接線、右側は の接線が上側の境界になるので、放物線との差を積分する。計算を短くするには とおき、左右の小さい放物線型の面積を合わせる。(3) は傾き の積が であることから を得て、 により の最小値を決める。
解答
(1)
曲線 の における接線は である。したがって である。
交点 の 座標を求めるために連立すると である。 だから であり、整理して となる。よって である。この値を に代入すると である。したがって である。
(2)
の 座標は である。 では線分 が上側、 では線分 が上側になる。よって
である。
ここで ではなく、接線は放物線の下にあるので、囲まれた部分では放物線から接線を引く形で考えると正になる。すなわち左側の面積は である。同様に右側は である。
したがって
である。よって である。
(3)
の傾きはそれぞれ である。2直線が垂直である条件は傾きの積が であることなので すなわち である。
このとき
である。 より だから である。等号は のときで、このとき と合わせて となり、確かに条件を満たす。
よって であり、最小値は である。