東北大学 2014年度文系数学前期第3問解答・解説

問題

$t$ を正の実数とする。三角形 $O A B$ の辺 $O A$ を $2 : 1$ に内分する点を $M$ ，辺 $O B$ を $t : 1$ に内分する点を $N$ とする。線分 $A N$ と線分 $B M$ の交点を $P$ とする。

(1) $O P$ を $O A$ ， $O B$ および $t$ を用いて表せ。

(2) 直線 $O P$ は線分 $B M$ と直交し，かつ $∠ A O B$ の二等分線であるとする。このとき，辺 $O A$ と辺 $O B$ の長さの比と $t$ の値を求めよ。

出典：東北大学 2014年度前期日程第2次学力試験文系前期第3問

方針

(1) は $O A = a$ 、 $O B = b$ とおき、点 $P$ を直線 $A N$ 上と直線 $B M$ 上の2通りに表して係数比較する。三角形内の2直線の交点なので、 $a, b$ の係数を比較して媒介変数を決めればよい。(2) は、 $O P$ が角の二等分線であることを、単位ベクトル方向の係数が等しいこととして表す。さらに $O P ⊥ B M$ を内積で書き、三角形が退化していないため $1 + cos ∠ A O B \neq = 0$ であることを使って辺の比を決める。

解答

(1)

$O A = a, O B = b$ とおく。点 $M$ は $O A$ を $2 : 1$ に内分するので $O M = \frac{2}{3} a$ である。また点 $N$ は $O B$ を $t : 1$ に内分するので $O N = \frac{t}{t + 1} b$ である。

点 $P$ は線分 $A N$ 上にあるから、ある実数 $u$ を用いて $O P = (1 - u) a + u \frac{t}{t + 1} b$ と書ける。また $P$ は線分 $B M$ 上にもあるから、ある実数 $v$ を用いて $O P = v \frac{2}{3} a + (1 - v) b$ とも書ける。 $a, b$ は三角形の2辺の方向であり平行ではないので、係数を比較できる。したがって $1 - u = \frac{2}{3} v, \frac{t}{t + 1} u = 1 - v$ である。第1式から $v = \frac{3}{2} (1 - u)$ である。これを第2式へ代入して $\frac{t}{t + 1} u = 1 - \frac{3}{2} (1 - u) = - \frac{1}{2} + \frac{3}{2} u$ を得る。両辺を2倍して $\frac{2 t}{t + 1} u = - 1 + 3 u$ である。よって $1 = (3 - \frac{2 t}{t + 1}) u = \frac{t + 3}{t + 1} u$ なので $u = \frac{t + 1}{t + 3}$ である。

これを $A N$ 上の表示に代入すると $1 - u = 1 - \frac{t + 1}{t + 3} = \frac{2}{t + 3}$ であり $\frac{t}{t + 1} u = \frac{t}{t + 1} \cdot \frac{t + 1}{t + 3} = \frac{t}{t + 3}$ である。したがって

O P = \frac{2 O A + t O B}{t + 3}

である。

(2)

$O A = A, O B = B$ とし、 $O A$ 、 $O B$ 方向の単位ベクトルをそれぞれ $e_{1}, e_{2}$ とする。すると $O A = A e_{1}, O B = B e_{2}$ である。(1)より $O P = \frac{2 A e _{1} + tB e _{2}}{t + 3}$ である。 $O P$ が $∠ A O B$ の二等分線であるためには、 $e_{1}$ 方向と $e_{2}$ 方向の係数が等しければよい。したがって $2 A = tB$ である。

次に $B M$ の方向ベクトルは

B M = O M - O B = \frac{2}{3} A e_{1} - B e_{2}

である。 $O P$ は角の二等分線方向なので、その方向ベクトルは $e_{1} + e_{2}$ と同じ向きである。よって直交条件は $(e_{1} + e_{2}) \cdot (\frac{2}{3} A e_{1} - B e_{2}) = 0$ である。

ここで $e_{1} \cdot e_{1} = e_{2} \cdot e_{2} = 1$ とおくと、上式は $\frac{2}{3} A - B + (\frac{2}{3} A - B) (e_{1} \cdot e_{2}) = 0$ すなわち $(\frac{2}{3} A - B) (1 + e_{1} \cdot e_{2}) = 0$ である。三角形 $O A B$ は退化していないので、 $∠ A O B \neq = 18 0^{\circ}$ であり $1 + e_{1} \cdot e_{2} \neq = 0$ である。したがって $B = \frac{2}{3} A$ を得る。よって $O A : O B = A : B = 3 : 2$ である。

さらに $2 A = tB$ に $B = 2 A /3$ を代入して $2 A = t \cdot \frac{2}{3} A$ である。 $A > 0$ だから $t = 3$ である。したがって $O A : O B = 3 : 2, t = 3$ である。

東北大学 2014年度文系数学 前期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2014年度
文系数学前期第3問