東北大学 2013年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

1辺の長さが1の正四面体 $O A B C$ において，辺 $O A$ を $3 : 1$ に内分する点を $D$ ，辺 $O B$ を $2 : 1$ に内分する点を $E$ ，辺 $A C$ を $2 : 1$ に内分する点を $F$ とする。3点 $D$ ， $E$ ， $F$ が定める平面を $α$ とし，平面 $α$ と辺 $B C$ との交点を $G$ とする。

(1) $O G$ を $O B$ と $O C$ を用いて表せ。

(2) $△ E F G$ の面積を求めよ。

出典：東北大学 2013年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

正四面体の3辺 $O A, O B, O C$ を基底として、点 $D, E, F, G$ の位置ベクトルを表す。 $G$ は辺 $B C$ 上にあるので $(1 - u) O B + u O C$ と置き、 $D, E, F, G$ が同一平面上にある条件を係数比較で求める。面積は $E F$ と $E G$ の内積から、 $∣ E F ∣^{2} ∣ E G ∣^{2} - (E F \cdot E G)^{2}$ を使って計算する。

解答

(1)

O A = a, O B = b, O C = c

とおく。正四面体の1辺の長さは $1$ なので

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = ∣ c ∣ = 1, a \cdot b = b \cdot c = c \cdot a = \frac{1}{2}

である。

点の位置ベクトルは

O D = \frac{3}{4} a, O E = \frac{2}{3} b, O F = \frac{1}{3} a + \frac{2}{3} c

である。また $G$ は辺 $B C$ 上にあるので $O G = (1 - u) b + u c$ とおける。 $D, E, F, G$ が同一平面上にあるから、 $D G$ は $D E$ と $D F$ の一次結合で表せる。すなわち $D G = λ D E + μ D F$ とおく。各ベクトルを $a, b, c$ で表すと

D G = - \frac{3}{4} a + (1 - u) b + u c,

D E = - \frac{3}{4} a + \frac{2}{3} b, D F = - \frac{5}{12} a + \frac{2}{3} c

である。係数を比較すると

1 - u = \frac{2}{3} λ, u = \frac{2}{3} μ, - \frac{3}{4} = - \frac{3}{4} λ - \frac{5}{12} μ

である。これを解くと $u = \frac{3}{4}$ である。したがって

O G = \frac{1}{4} O B + \frac{3}{4} O C

である。

(2)

E F = O F - O E = \frac{1}{3} a - \frac{2}{3} b + \frac{2}{3} c

であり、

E G = O G - O E = - \frac{5}{12} b + \frac{3}{4} c

である。内積関係を用いると

∣ E F ∣^{2} = \frac{5}{9}, ∣ E G ∣^{2} = \frac{61}{144}, E F \cdot E G = \frac{4}{9}

である。

よって三角形の面積の2乗は

[△ E F G]^{2} = \frac{1}{4} (∣ E F ∣^{2} ∣ E G ∣^{2} - (E F \cdot E G)^{2})

である。代入して

[△ E F G]^{2} = \frac{1}{4} (\frac{5}{9} \cdot \frac{7}{48} - \frac{16}{81}) = \frac{49}{5184}

となる。したがって $[△ E F G] = \frac{7}{72}$ である。

東北大学 2013年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2013年度
後期・文系数学後期第4問