問題
を満たす実数に対して，2つの放物線とを考える。
(1) 2つの放物線とが異なる2点で交わるようなの値の範囲を求めよ。
(2) が(1)で求めた範囲にあるとき，との2つの交点を通る直線の傾きをとする。が最大になるようにの値を定め，そのときのの値を求めよ。
出典：東北大学 2013年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
2つの放物線の交点の 座標を求める方程式を作り、 で一次式になる場合を先に分ける。 では判別式で異なる2点を確認する。交点を結ぶ直線の傾きは、放物線 上の2点 に対する差商 で表し、解と係数の関係で だけの関数にして最大化する。
解答
(1)
交点の 座標は を満たす。整理すると である。 のとき、この方程式は となり、交点は1個だけである。したがって異なる2点で交わるためには の場合を考えればよい。 のときは2次方程式であり、判別式を とすると である。 では なので、異なる2つの実数解をもつ。よって求める範囲は である。
(2)
2つの交点の 座標を とする。(1) の2次方程式について、解と係数の関係より である。
交点は放物線 上にもあるので、2交点を結ぶ直線の傾き は である。 だから、 となる。したがって である。 なので、 とおくと であり、
である。 に対して であり、等号は のときに成り立つ。よって が最大となるのは のときである。このとき である。