東北大学 2013年度
後期・文系数学 後期 第2問

解答

(1)

2次方程式 $4x^2+2x-1=0$ の解は $x=\frac{-2\pm \sqrt{4+16}}{8}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{4}$ である。$\alpha >\beta$ より $\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{4},\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{4}$ である。

ここで $2<\sqrt{5}<3$ だから $0<\frac{-1+\sqrt{5}}{4}<\frac{1}{2}$ すなわち $0<\alpha <\frac{1}{2}$ である。一方、$\theta$ が $\pi /3\leqq \theta \leqq \pi /2$ を動くとき、$\cos \theta$ は $1/2$ から $0$ まで単調に減少する。したがって $\alpha =\cos \theta$ となる $\theta$ はこの範囲にただ1つ存在する。

(2)

$\alpha$ は方程式の解なので $4{\alpha }^2+2\alpha -1=0$ である。したがって $2{\alpha }^2-1=-\alpha -\frac{1}{2}$ である。$\alpha =(-1+\sqrt{5})/4$ を代入すると

である。

(1) より $\alpha =\cos \theta$ だから、2倍角公式を用いて $\cos 2\theta =2{\cos }^2\theta -1=2{\alpha }^2-1=\beta$ を得る。

(3)

$\pi /3\leqq \theta \leqq \pi /2$ なので $\frac{2\pi }{3}\leqq 2\theta \leqq \pi$ である。また $\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{4}=-\frac{1+\sqrt{5}}{4}=\cos \frac{4\pi }{5}$ である。$\cos x$ は $[0,\pi ]$ で単調に減少するので、$2\theta =\frac{4\pi }{5}$ である。したがって $\theta =\frac{2\pi }{5}$ である。