東北大学 2013年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

$t$ は $0 ≦ t ≦ 1$ を満たす実数とする。放物線 $y = x^{2}$ ，直線 $x = 1$ ，および $x$ 軸とで囲まれた図形を $A$ ，放物線 $y = 4 (x - t)^{2}$ と直線 $y = 1$ とで囲まれた図形を $B$ とする。 $A$ と $B$ の共通部分の面積を $S (t)$ とする。

(1) $S (t)$ を求めよ。

(2) $0 ≦ t ≦ 1$ における $S (t)$ の最大値を求めよ。

出典：東北大学 2013年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

共通部分では $0 ≦ x ≦ 1$ の範囲で、下側が $y = 4 (x - t)^{2}$ 、上側が $y = x^{2}$ になる。したがってまず $4 (x - t)^{2} ≦ x^{2}$ を解いて積分区間を求める。上端が $2 t$ になるか $1$ で止まるかで $t = 1/2$ を境に場合分けし、得た面積関数を各区間で最大化する。

解答

(1)

図形 $A$ は $0 ≦ x ≦ 1, 0 ≦ y ≦ x^{2}$ で表される。図形 $B$ は $4 (x - t)^{2} ≦ y ≦ 1$ を満たす部分である。 $A$ の中では $x^{2} ≦ 1$ であるから、共通部分が存在するための条件は $4 (x - t)^{2} ≦ x^{2}$ である。 $0 ≦ x ≦ 1$ なので、これは $- x ≦ 2 (x - t) ≦ x$ と同値である。よって $\frac{2 t}{3} ≦ x ≦ 2 t$ である。さらに $x ≦ 1$ も必要だから、積分区間は $\frac{2 t}{3} ≦ x ≦ min (2 t, 1)$ となる。この区間で共通部分の縦の長さは $x^{2} - 4 (x - t)^{2}$ である。 $0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}$ のときは $2 t ≦ 1$ だから、 $S (t) = \int_{2 t /3}^{2 t} {x^{2} - 4 (x - t)^{2}} d x$ である。被積分関数は $x^{2} - 4 (x - t)^{2} = - 3 x^{2} + 8 t x - 4 t^{2}$ なので、 $S (t) = [- x^{3} + 4 t x^{2} - 4 t^{2} x]_{2 t /3}^{2 t} = \frac{32 t ^{3}}{27}$ である。 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ のときは上端が $1$ になるので、 $S (t) = \int_{2 t /3}^{1} {x^{2} - 4 (x - t)^{2}} d x$ である。したがって

S (t) = [- x^{3} + 4 t x^{2} - 4 t^{2} x]_{2 t /3}^{1} = \frac{( 2 t - 3 ) ^{2} ( 8 t - 3 )}{27}

である。

以上より

S (t) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{32 t ^{3}}{27} \frac{( 2 t - 3 ) ^{2} ( 8 t - 3 )}{27} (0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}), (\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1)

である。

(2)

$0 ≦ t ≦ \frac{1}{2}$ では $S (t) = \frac{32 t ^{3}}{27}$ であり、これは単調増加する。したがってこの区間での最大値は $S (\frac{1}{2}) = \frac{4}{27}$ である。 $\frac{1}{2} ≦ t ≦ 1$ では $S (t) = \frac{32 t ^{3} - 108 t ^{2} + 108 t - 27}{27}$ である。微分すると $S^{'} (t) = \frac{96 t ^{2} - 216 t + 108}{27} = \frac{4 ( 4 t - 3 ) ( 2 t - 3 )}{9}$ である。この区間で臨界点は $t = 3/4$ だけで、 $S^{'} (t)$ は $t = 3/4$ の前で正、後で負になる。よって最大値は $S (\frac{3}{4}) = \frac{1}{4}$ である。これは $4/27$ より大きいので、求める最大値は $\frac{1}{4}$ である。

東北大学 2013年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2013年度
文系数学前期第4問