問題
を実数とする。以下の問いに答えよ。
(1) 2次方程式が，の範囲に2つの異なる実数解をもつようなの値の範囲を求めよ。
(2) が(1)で求めた範囲を動くとき，放物線の頂点の座標が取りうる値の範囲を求めよ。
出典：東北大学 2013年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第1問
方針
方程式の左辺を と見て、下に凸の放物線が区間 内で2回 軸と交わる条件を作る。軸が区間内にあること、両端で となること、頂点が 軸より下にあることを確認する。(2) は頂点の 座標を の二次式にして、(1) の範囲上で最大・最小を調べる。
解答
(1)
とおく。この放物線は下に凸で、軸は である。2つの異なる実数解がともに に入るには、軸が区間内にあり、区間の両端で となればよい。実際、このとき頂点は区間内にあり、頂点の 座標 は判別式 をもつ二次式なので、すべての で負である。したがって2つの異なる交点が生じる。
条件を順に書くと、軸について より である。また だから である。さらに より である。これらを合わせて を得る。端点の場合は一方の解が または になるだけで、もう一方の解とは異なるので含めてよい。
(2)
頂点の 座標は である。(1) より である。 は上に凸の二次関数で、軸は である。これは区間内にあるので、最大値は である。
最小値は端点で比較する。
であるから、最小値は である。したがって取りうる値の範囲は である。