問題
，の2人が，サイコロを1回ずつ交互に投げるゲームを行う。自分の出したサイコロの目を合計して先に6以上になった方を勝ちとし，その時点でゲームを終了する。から投げ始めるものとし，以下の問いに答えよ。
(1) がちょうど1回投げてが勝ちとなる確率を求めよ。
(2) がちょうど2回投げてが勝ちとなる確率を求めよ。
(3) がちょうど2回投げて，その時点でゲームが終了していない確率を求めよ。
方針
各人の累積和が初めて 以上になる瞬間だけを追う。ちょうど何回目で勝つかは、それ以前の自分の累積和が 以下で、相手もその前に勝っていないという条件で表せる。2回投げた和が 以下になる通り数と、1回目は 以下で2回合計が 以上になる通り数を先に数えて使う。
解答
2個のさいころの目の和が 以下になる通り数を数えておく。和が となる通り数はそれぞれ であるから、合計で 通りである。
また、1回目が 以下で、2回の和が 以上となる通り数も数えておく。1回目を とすると、2回目の出目はそれぞれ 以上であればよい。したがって通り数は である。
(1)
がちょうど1回投げて勝つには、 の1回目でゲームが終わらず、 の1回目が であればよい。すなわち の1回目は から のいずれかで、 の1回目は である。よって求める確率は である。
(2)
がちょうど2回投げて勝つには、 の2回目の直前までゲームが終わっていない必要がある。したがって、 の最初の2回の和は 以下であり、 は1回目では勝たず、2回の和で 以上になればよい。 の2回の出方は上で数えた 通りである。 の2回の出方は、1回目が 以下で2回合計が 以上となる 通りである。全体は4回のさいころ投げなので、求める確率は である。
(3)
がちょうど2回投げた時点でゲームが終了していないとは、 の2回の合計も の2回の合計も、ともに 以下であるということである。どちらについても通り数は 通りなので、求める確率は である。