問題
空間内に4点，，，がある。点を含み，直線に垂直な平面をとし，2点，の中点をとする。以下の問いに答えよ。
(1) 点から平面に下ろした垂線との交点をとするとき，点の座標を求めよ。
(2) を平面上を動く点とするとき，線分および線分の長さの2乗の和の最小値を求めよ。
出典：東北大学 2012年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第4問
方針
平面 は に垂直なので、法線ベクトルは である。(1)は平面方程式 を作り、中点 から法線方向に射影する。(2)は中点公式 を使い、 が平面上を動くとき が最小になるのは垂線の足 であることに帰着する。
解答
(1)
である。平面 は点 を通り、 に垂直なので、方程式は すなわち である。 の中点 は
である。 から平面 へ下ろす垂線は法線方向 に平行であるから とおける。 が平面 上にある条件は
である。よって から である。したがって である。
(2)
は の中点である。任意の点 について、中点公式より が成り立つ。ここで だから である。 が平面 上を動くとき、 が最小となるのは、 から平面 に下ろした垂線の足、すなわち のときである。(1)より なので である。
よって求める最小値は である。