東北大学 2012年度後期・文系数学後期第2問解答・解説

問題

実数 $x$ に対して，関数 $f (x)$ を $f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} - 2 x + 3}$ と定める。以下の問いに答えよ。

(1) $x ≧ 0$ のとき， $f (x)$ のとりうる値の範囲を求めよ。

(2) $x$ を正の有理数とし， $f (x)$ の値を互いに素な正の整数 $p$ ， $q$ を用いて $f (x) = \frac{q}{p}$ と表す。このとき， $q ≦ 3$ となるような $x$ をすべて求めよ。

出典：東北大学 2012年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第2問

方針

(1)は有理関数を微分し、 $x ≧ 0$ での増減と端点・極限を比較して値域を出す。(2)は(1)の値域と $q ≦ 3$ から、既約分数 $q / p$ の候補を有限個に絞る。各候補について方程式 $(x^{2} + 2) / (x^{2} - 2 x + 3) = q / p$ を解き、正の有理数だけを残す。

解答

(1)

$f (x) = \frac{x ^{2} + 2}{x ^{2} - 2 x + 3}$ である。分母は $x^{2} - 2 x + 3 = (x - 1)^{2} + 2 > 0$ なので、すべての実数で定義される。微分すると $f^{'} (x) = \frac{2 x ( x ^{2} - 2 x + 3 ) - ( x ^{2} + 2 ) ( 2 x - 2 )}{( x ^{2} - 2 x + 3 ) ^{2}}$ であり、分子を整理して $f^{'} (x) = \frac{- 2 ( x - 2 ) ( x + 1 )}{( x ^{2} - 2 x + 3 ) ^{2}}$ を得る。 $x ≧ 0$ では、 $0 ≦ x < 2$ で $f^{'} (x) > 0$ 、 $x > 2$ で $f^{'} (x) < 0$ である。したがって $x = 2$ で最大値をとる。値は $f (0) = \frac{2}{3}, f (2) = 2, lim_{x \to \infty} f (x) = 1$ である。よって値域は $\frac{2}{3} ≦ f (x) ≦ 2$ である。

(2)

$f (x) = q / p$ は既約分数で、 $q ≦ 3$ である。また(1)より $\frac{2}{3} ≦ \frac{q}{p} ≦ 2$ である。 $q = 1$ のとき、候補は $1$ だけである。 $q = 2$ のとき、既約で範囲に入る候補は $2, \frac{2}{3}$ である。 $q = 3$ のとき、候補は $\frac{3}{2}, \frac{3}{4}$ である。したがって調べるべき値は $1, 2, \frac{2}{3}, \frac{3}{2}, \frac{3}{4}$ である。

それぞれ方程式を解く。 $f (x) = 1$ では $x^{2} + 2 = x^{2} - 2 x + 3$ より $x = \frac{1}{2}$ である。 $f (x) = 2$ では $x^{2} + 2 = 2 (x^{2} - 2 x + 3)$ より $(x - 2)^{2} = 0$ なので $x = 2$ である。 $f (x) = 2/3$ では $3 (x^{2} + 2) = 2 (x^{2} - 2 x + 3)$ より $x (x + 4) = 0$ となり、正の解はない。 $f (x) = 3/2$ では $2 (x^{2} + 2) = 3 (x^{2} - 2 x + 3)$ より $x^{2} - 6 x + 5 = 0$ であるから $x = 1, 5$ である。 $f (x) = 3/4$ では $4 (x^{2} + 2) = 3 (x^{2} - 2 x + 3)$ より $x^{2} + 6 x - 1 = 0$ であり、正の解は $- 3 + 10$ だが、これは有理数ではないので除く。

以上より $x = \frac{1}{2}, 1, 2, 5$ である。

東北大学 2012年度後期・文系数学 後期 第2問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2012年度
後期・文系数学後期第2問