問題
の数字がひとつずつ書かれた5枚のカードが横一列に並んでいる。このカードの中から隣り合って置かれている2枚のカードを無作為に選んで入れ換える操作を繰り返す。ただし，最初の状態では数字の小さい順に左からと並んでいるものとする。以下の問いに答えよ。
(1) 2回の操作を終えた後のカードの並び方は，全部で何通りありうるか求めよ。
(2) 4回の操作の過程で，数字3が書かれたカードが1回も動かされることがない確率を求めよ。
(3) 4回の操作を終えた後，数字3が書かれたカードが左から3番目にある確率を求めよ。
方針
(1)は2回選ぶ隣接位置を の番号で表し、同じ位置を2回選ぶ場合、隣り合う位置を選ぶ場合、離れた位置を選ぶ場合に分けて、得られる並びの重複を整理する。(2)は数字3を動かさない交換位置が毎回2通りだけであることを使う。(3)は数字3の位置だけを状態 として、4回の推移を表で計算する。
解答
(1)
隣り合う2枚の交換位置を、左から順に と番号づける。2回の操作で選ぶ位置の組を考える。
同じ位置を2回選ぶと元に戻るので、得られる並びは最初の並び1通りである。
異なる2位置を選ぶ場合を考える。選んだ位置が隣り合っている場合、例えば と では得られる並びが異なる。隣り合う位置の組は の3組で、それぞれ順序が2通りあるので、6通りの並びが得られる。
選んだ位置が離れている場合、2つの交換は互いに影響しないので順序を入れ替えても同じ並びになる。離れた位置の組は の3組である。
したがって、2回の操作後にありうる並びは である。
(2)
最初、数字3は左から3番目にある。数字3が動かされないためには、数字3を含む隣接組を選んではならない。最初の状態で数字3を含まない交換位置は、左端の2枚を入れ換える位置と右端の2枚を入れ換える位置の2通りである。
さらに、数字3が一度も動かされなければ、数字3は常に中央にあるので、各回で選べる安全な位置は同じく2通りである。全体では毎回4通りの選択が同様に確からしいから、求める確率は である。
(3)
数字3の位置だけに注目する。位置が のとき、隣接交換4通りのうち、数字3を左へ動かす交換があれば1通り、右へ動かす交換があれば1通りで、残りは動かない。
初期状態では位置3に確率1である。各時刻後の位置分布を の順に書くと、
である。したがって4回後に数字3が左から3番目にある確率は である。