東北大学 2012年度文系数学前期第4問解答・解説

問題

平面上のベクトル $a$ ， $b$ が

∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1, a \cdot b = - \frac{1}{2}

を満たすとする。ただし，記号 $a \cdot b$ はベクトル $a$ と $b$ の内積を表す。以下の問いに答えよ。

(1) 実数 $p$ ， $q$ に対して， $c = p a + q b$ とおく。このとき，次の条件

∣ c ∣ = 1, a \cdot c = 0, p > 0

を満たす実数 $p$ ， $q$ を求めよ。

(2) 平面上のベクトル $x$ が

- 1 ≦ a \cdot x ≦ 1, 1 ≦ b \cdot x ≦ 2

を満たすとき， $∣ x ∣$ のとりうる値の範囲を求めよ。

出典：東北大学 2012年度前期日程第2次学力試験文系前期第4問

方針

(1)は $c = p a + q b$ を内積条件に代入し、 $a \cdot c = 0$ から $q = 2 p$ を得て、長さ条件で $p, q$ を決める。(2)は $u = a \cdot x$ 、 $v = b \cdot x$ と置き、 $∣ x ∣^{2}$ を $u, v$ で表す。長方形 $- 1 ≦ u ≦ 1, 1 ≦ v ≦ 2$ 上で二次式 $u^{2} + uv + v^{2}$ の最小・最大を調べる。

解答

(1)

$c = p a + q b$ とする。 $∣ a ∣ = ∣ b ∣ = 1$ 、 $a \cdot b = - 1/2$ より $a \cdot c = p a \cdot a + q a \cdot b = p - \frac{q}{2}$ である。条件 $a \cdot c = 0$ から $q = 2 p$ を得る。

また $∣ c ∣^{2} = (p a + q b) \cdot (p a + q b) = p^{2} + q^{2} - pq$ である。 $q = 2 p$ を代入すると $∣ c ∣^{2} = p^{2} + 4 p^{2} - 2 p^{2} = 3 p^{2}$ である。 $∣ c ∣ = 1$ 、 $p > 0$ より $p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3}$ である。したがって $p = \frac{1}{3}, q = \frac{2}{3}$ である。

(2)

$u = a \cdot x, v = b \cdot x$ とおく。 $a, b$ は平行でないので、 $x = r a + s b$ と表せる。このとき $u = r - \frac{s}{2}, v = - \frac{r}{2} + s$ である。これを解くと $r = \frac{4}{3} u + \frac{2}{3} v, s = \frac{2}{3} u + \frac{4}{3} v$ である。

したがって $∣ x ∣^{2} = r^{2} + s^{2} - r s$ に代入して $∣ x ∣^{2} = \frac{4}{3} (u^{2} + uv + v^{2})$ を得る。条件は $- 1 ≦ u ≦ 1, 1 ≦ v ≦ 2$ である。 $v$ を固定すると、 $u^{2} + uv + v^{2} = (u + \frac{v}{2})^{2} + \frac{3}{4} v^{2}$ である。 $1 ≦ v ≦ 2$ では $- v /2$ が $[- 1, 1]$ に入るので、固定した $v$ に対する最小は $u = - v /2$ のときである。このとき値は $3 v^{2} /4$ であり、 $1 ≦ v ≦ 2$ で最小となるのは $v = 1$ のときである。よって $∣ x ∣_{m i n}^{2} = \frac{4}{3} \cdot \frac{3}{4} = 1$ である。

最大値は凸な二次式の長方形上の最大なので、頂点で調べればよい。4頂点で $u^{2} + uv + v^{2} = 1, 3, 3, 7$ となり、最大は $(u, v) = (1, 2)$ のときの7である。したがって $∣ x ∣_{m a x}^{2} = \frac{4}{3} \cdot 7 = \frac{28}{3}$ である。以上より $1 ≦ ∣ x ∣ ≦ \frac{2 21}{3}$ である。

東北大学 2012年度文系数学 前期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2012年度
文系数学前期第4問