東北大学 2012年度文系数学前期第1問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とし， $a \neq = \frac{1}{2}$ とする。曲線 $C : y = x^{2}$ 上の2点 $P (\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ と $Q (a, a^{2})$ をとる。点 $P$ を通り $P$ における $C$ の接線と直交する直線を $l$ とし，点 $Q$ を通り $Q$ における $C$ の接線と直交する直線を $m$ とする。 $l$ と $m$ の交点が $C$ 上にあるとき，以下の問いに答えよ。

(1) $a$ の値を求めよ。

(2) 2直線 $l$ ， $m$ と曲線 $C$ で囲まれた図形のうちで $y$ 軸の右側の部分の面積を求めよ。

出典：東北大学 2012年度前期日程第2次学力試験文系前期第1問

方針

放物線 $y = x^{2}$ の $x = t$ における法線を一般式で表し、 $P$ と $Q$ に対応する2本の法線の交点を求める。その交点が再び放物線上にある条件を、 $u = a^{2} + a /2$ の二次方程式として整理して $a$ を決める。(2)は $a = 1$ のときの2本の法線と放物線の位置関係を確認し、右半平面 $x ≧ 0$ に現れる部分を $[0, 1/2]$ と $[1/2, 1]$ に分けて面積を積分する。

解答

(1)

曲線 $C : y = x^{2}$ の $x = t$ における接線の傾きは $2 t$ である。したがって $t \neq = 0$ のとき、法線の傾きは $- 1/ (2 t)$ であり、法線の方程式は $y - t^{2} = - \frac{1}{2 t} (x - t)$ すなわち $y = - \frac{x}{2 t} + t^{2} + \frac{1}{2}$ である。

点 $P$ は $t = 1/2$ に対応するので $l : y = - x + \frac{3}{4}$ である。また点 $Q (a, a^{2})$ における法線は $m : y = - \frac{x}{2 a} + a^{2} + \frac{1}{2}$ である。

2直線の交点の $x$ 座標を求める。 $a \neq = 1/2$ より2直線は一致せず、 $- x + \frac{3}{4} = - \frac{x}{2 a} + a^{2} + \frac{1}{2}$ から $x = - a^{2} - \frac{a}{2}$ を得る。このとき $l$ 上の $y$ 座標は $y = a^{2} + \frac{a}{2} + \frac{3}{4}$ である。

交点が放物線 $C$ 上にあるから $(a^{2} + \frac{a}{2})^{2} = a^{2} + \frac{a}{2} + \frac{3}{4}$ である。ここで $u = a^{2} + \frac{a}{2}$ とおくと、 $a > 0$ より $u > 0$ であり、 $u^{2} = u + \frac{3}{4}$ すなわち $(u - \frac{3}{2}) (u + \frac{1}{2}) = 0$ である。 $u > 0$ だから $u = \frac{3}{2}$ である。よって $a^{2} + \frac{a}{2} = \frac{3}{2}$ すなわち $2 a^{2} + a - 3 = 0$ である。 $a > 0$ なので $a = 1$ である。

(2)

$a = 1$ のとき $l : y = - x + \frac{3}{4}, m : y = - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}$ である。右側部分では、 $x = 0$ から $x = 1/2$ までは2直線にはさまれ、 $x = 1/2$ から $x = 1$ までは直線 $m$ と放物線にはさまれる。

したがって求める面積は

\int_{0}^{1/2} {(- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - (- x + \frac{3}{4})} d x + \int_{1/2}^{1} {(- \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) - x^{2}} d x

である。第1項は

\int_{0}^{1/2} (\frac{1}{2} x + \frac{3}{4}) d x = [\frac{1}{4} x^{2} + \frac{3}{4} x]_{0}^{1/2} = \frac{7}{16}

である。第2項は

\int_{1/2}^{1} (- x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{2}) d x = [- \frac{x ^{3}}{3} - \frac{x ^{2}}{4} + \frac{3}{2} x]_{1/2}^{1} = \frac{13}{48}

である。よって面積は $\frac{7}{16} + \frac{13}{48} = \frac{17}{24}$ である。

東北大学 2012年度文系数学 前期 第1問

問題

方針

解答

(1)

(2)

東北大学 2012年度
文系数学前期第1問