東北大学 2012年度
文系数学 前期 第2問
- 試験区分
- 前期日程 第2次学力試験
- 対象
- 文系
- 分野
- 三角関数、関数
- 解法
- 置換、範囲評価、絶対値の処理
- 難易度
- 5 / 10 計算量 5 / 10 目安 —
問題
関数f(x)を
f(x)=2cos2x−23sinxcosx−sinx+3cosx−45
と定める。以下の問いに答えよ。
(1) t=−sinx+3cosxとおく。f(x)をtの関数として表せ。
(2) xが0≦x≦90∘の範囲を動くとき，tのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) xが0≦x≦90∘の範囲を動くとき，f(x)のとりうる値の範囲を求めよ。また，f(x)が最大値をとるxは，60∘<x<75∘を満たすことを示せ。
出典：東北大学 2012年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
まず t=−sinx+3cosx の二乗を計算し、絶対値の中身を t2+t−9/4 に変形する。次に t=2cos(x+30∘) として、0∘≦x≦90∘ における t の範囲を単調性から求める。最後は区間 [−1,3] 上で ∣t2+t−9/4∣ の最大最小を調べ、最大をとる t=−1/2 から対応する x の範囲を示す。
解答
(1)
t=−sinx+3cosx とおく。二乗すると t2=sin2x−23sinxcosx+3cos2x である。sin2x+cos2x=1 を用いると t2=1+2cos2x−23sinxcosx である。したがって絶対値の中身は 2cos2x−23sinxcosx−sinx+3cosx−45 =(t2−1)+t−45=t2+t−49 となる。よって f(x)=t2+t−49 である。
(2)
t=−sinx+3cosx=2cos(x+30∘) である。0∘≦x≦90∘ のとき 30∘≦x+30∘≦120∘ であり、この範囲で cos は単調減少する。したがって 2cos120∘≦t≦2cos30∘ すなわち −1≦t≦3 である。
(3)
g(t)=t2+t−49 とおく。−1≦t≦3 で考えると、g(t) は t=−1/2 で最小値 g(−21)=−25 をとる。また g(−1)=−49,g(3)=3+43 である。さらに g(t)=0 の正の解 t=2−1+10 は [−1,3] に含まれるので、∣g(t)∣ の最小値は0である。
一方、∣g(t)∣ の最大値は、g の最小値の絶対値と端点の絶対値を比べればよい。上の値から最大は −25=25 である。したがって 0≦f(x)≦25 である。
最大値をとるのは t=−21 のときである。すなわち 2cos(x+30∘)=−21 であるから cos(x+30∘)=−41 である。このとき x+30∘>90∘ なので x>60∘ である。また cos105∘=42−6<−41 であり、cos は [30∘,120∘] で単調減少する。cos(x+30∘)=−1/4 は cos105∘ より大きいから x+30∘<105∘ である。よって 60∘<x<75∘ を満たす。
