東北大学 2010年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$x y$ 平面の点 $(- 1, 0)$ ， $(0, 1)$ ， $(1, 4)$ を結んでできる折れ線をグラフとする関数を $y = f (x)$ とおく．このとき，積分

\int_{- 1}^{1} {f (x) - (a ∣ x ∣ + b)}^{2} d x

を最小にする $a$ ， $b$ を求めよ．また，そのときの積分の値を求めよ．

出典：東北大学 2010年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

折れ線で定義された $f (x)$ を， $- 1 ≦ x ≦ 0$ と $0 ≦ x ≦ 1$ に分けて一次式で表す。 $∣ x ∣$ も同じ区間で外せるので，積分は $a, b$ の2次式になる。2変数の2次式を，まず $a$ について平方完成し，次に残った $b$ の2次式を平方完成して最小値を求める。

解答

折れ線の式を区間ごとに求める。点 $(- 1, 0)$ と $(0, 1)$ を結ぶ直線は傾き1なので $f (x) = x + 1 (- 1 ≦ x ≦ 0)$ である。また，点 $(0, 1)$ と $(1, 4)$ を結ぶ直線は傾き3なので $f (x) = 3 x + 1 (0 ≦ x ≦ 1)$ である。

さらに， $- 1 ≦ x ≦ 0$ では $∣ x ∣ = - x$ ， $0 ≦ x ≦ 1$ では $∣ x ∣ = x$ である。したがって積分値を $I$ とおくと $I = \int_{- 1}^{0} {x + 1 - (- a x + b)}^{2} d x + \int_{0}^{1} {3 x + 1 - (a x + b)}^{2} d x$ である。すなわち $I = \int_{- 1}^{0} {(1 + a) x + 1 - b}^{2} d x + \int_{0}^{1} {(3 - a) x + 1 - b}^{2} d x .$ これを計算する。一般に $\int_{0}^{1} (p x + q)^{2} d x = \frac{p ^{2}}{3} + pq + q^{2}$ であり，左側の積分も $u = - x$ と置けば同様に処理できる。展開して整理すると $I = \frac{2}{3} a^{2} + 2 ab - \frac{10}{3} a + 2 b^{2} - 6 b + \frac{22}{3}$ である。

まず $b$ を固定して $a$ について平方完成する。

I = \frac{2}{3} (a - \frac{5 - 3 b}{2})^{2} + (\frac{1}{2} b^{2} - b + \frac{19}{6}) .

したがって，固定した $b$ に対して最小となるのは $a = \frac{5 - 3 b}{2}$ のときである。

残った $b$ の式は $\frac{1}{2} b^{2} - b + \frac{19}{6} = \frac{1}{2} (b - 1)^{2} + \frac{8}{3}$ である。よって最小となるのは $b = 1$ のときであり，そのとき $a = \frac{5 - 3}{2} = 1$ である。

したがって $a = 1, b = 1$ であり，最小値は $\frac{8}{3}$ である。

東北大学 2010年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

東北大学 2010年度
後期・文系数学後期第4問