東北大学 2010年度
後期・文系数学 後期 第2問

解答

(1) $\overrightarrow{OA}=\vec{a},\overrightarrow{OB}=\vec{b}$ とおく。$M$ は $OA$ の中点だから $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\vec{a}$ であり，$N$ は $OB$ を $2:1$ に内分する点だから $\overrightarrow{ON}=\frac{2}{3}\vec{b}$ である。

点 $P$ は線分 $AN$ 上にあるので，ある実数 $s$ を用いて $\overrightarrow{OP}=(1-s)\vec{a}+s\cdot \frac{2}{3}\vec{b}$ と表せる。また $P$ は線分 $BM$ 上にもあるので，ある実数 $t$ を用いて $\overrightarrow{OP}=t\cdot \frac{1}{2}\vec{a}+(1-t)\vec{b}$ と表せる。

係数を比較すると $1-s=\frac{t}{2},\frac{2s}{3}=1-t$ である。第1式から $t=2(1-s)$ であり，これを第2式に代入すると $\frac{2s}{3}=1-2(1-s)=2s-1$ である。したがって $2s=6s-3,s=\frac{3}{4}$ である。よって

したがって

である。

(2) 座標を入れて計算する。$|\overrightarrow{OA}|=1$ なので $A=(1,0)$ とおく。また $B=(r\cos \theta ,r\sin \theta )$ とおく。ここで $r=OB$ である。$c=\cos \theta$，$s=\sin \theta$ と書けば $B=(rc,rs)$ である。

外接円は点 $A,B$ を通る。さらに直線 $OA$ に接するので，接点は $A$ であり，円の中心を $S$ とすると $SA\perp OA$ である。同様に，直線 $OB$ に接するので接点は $B$ であり，$SB\perp OB$ である。

半径は同じだから $SA=SB$ である。直角三角形 $OAS$ と $OBS$ を見ると $O{S}^2=O{A}^2+S{A}^2=1+S{A}^2$ であり，また $O{S}^2=O{B}^2+S{B}^2=r^2+S{B}^2$ である。$SA=SB$ より $1=r^2$ となる。$r>0$ だから $r=1$ である。

したがって $B=(c,s)$ である。円の中心は $SA\perp OA$ より $S=(1,h)$ とおける。また $SB\perp OB$ より $(S-B)\cdot B=0$ である。すなわち $(1-c,h-s)\cdot (c,s)=0$ なので $c(1-c)+s(h-s)=0.$ $c^2+s^2=1$ を用いると $c+hs-1=0$ であり，$h=\frac{1-c}{s}$ である。

(1) より $P=\frac{1}{4}A+\frac{1}{2}B=\left(\frac{1}{4}+\frac{c}{2},\frac{s}{2}\right)$ である。$P$ が外接円上にあるためには $S{P}^2=S{A}^2=h^2$ であればよい。左辺から右辺を引くと

$c^2+s^2=1$ より，これは $\frac{4c-3}{16}$ である。したがって $4c-3=0,c=\frac{3}{4}$ である。

求める内積は

である。