東北大学 2010年度
後期・文系数学 後期 第3問

解答

(1) 第1試合からの連勝回数を $X$ とする。$X\geqq k$ であることは，第1試合から第 $k$ 試合まですべて勝つことと同値である。したがって $P(X\geqq k)={\left(\frac{1}{2}\right)}^k(1\leqq k\leqq n)$ である。

非負整数値をとる確率変数について $E(X)={\sum }_{k=1}^{n}P(X\geqq k)$ であるから

よって $\boxed{1-\frac{1}{2^n}}$ である。

(2) 各試合について，勝ちを1，負けを0で表す。第 $k$ 試合までの勝ち数を $t_k$ とすると $a_k=\frac{t_k}{k}$ である。

第 $k+1$ 試合の結果を $\epsilon$ とする。ここで $\epsilon =1$ なら勝ち，$\epsilon =0$ なら負けである。条件 $a_k\leqq a_{k+1}$ は $\frac{t_k}{k}\leqq \frac{t_k+\epsilon }{k+1}$ である。両辺に $k(k+1)>0$ を掛けると $(k+1)t_k\leqq k(t_k+\epsilon )$ すなわち $t_k\leqq k\epsilon$ である。

もし第 $k+1$ 試合が勝ちなら $\epsilon =1$ であり，$t_k\leqq k$ は常に成り立つ。もし第 $k+1$ 試合が負けなら $\epsilon =0$ であり，条件は $t_k=0$ となる。つまり，平均勝率が下がらないまま負けが出ることができるのは，それまで1勝もしていない場合だけである。

したがって $a_1\leqq a_2\leqq \cdots \leqq a_m$ となるためには，最初の $m$ 試合が

という形でなければならない。ただし $r=0,1,\dots ,m$ である。

さらに $a_m>a_{m+1}$ となるには，第 $m+1$ 試合が負けであり，かつ最初の $m$ 試合までに少なくとも1勝している必要がある。したがって上の形で $r=0,1,\dots ,m-1$ の $m$ 通りが可能であり，第 $m+1$ 試合は負けに固定される。

よって $p_m=\frac{m}{2^{m+1}}$ である。すなわち $\boxed{p_m=\frac{m}{2^{m+1}}}$ である。

(3) (2) より ${\sum }_{m=1}^{n-1}m{p}_m={\sum }_{m=1}^{n-1}\frac{m^2}{2^{m+1}}$ である。この和を $S_N={\sum }_{m=1}^N\frac{m^2}{2^{m+1}}$ とおく。等比数列の和を2回利用して整理すると $S_N=3-\frac{N^2+4N+6}{2^{N+1}}$ である。ここで $N=n-1$ とすれば

したがって $\boxed{\sum _{m=1}^{n-1}m{p}_m=3-\frac{n^2+2n+3}{2^n}}$ である。