問題
数直線上を動く点がある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらは負の向きに1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．が原点を出発点として，このような試行を回繰り返して到着した位置をとする．以下の問いに答えよ．
(1) となる確率を求めよ．
(2) となる確率を求めよ．
(3) 試行を回繰り返して出た表の総数をとするとき，を求めよ．
(4) を整数とするとき，となる確率を求めよ．
方針
1回の試行を「2枚の硬貨を投げたときの表の枚数」で表す。2枚の表の枚数が0,1,2なら移動量はそれぞれ であり，これは「表の枚数から1を引く」ことに等しい。したがって 回全体では，合計 枚分の表の総数だけで が決まる。
解答
1回の試行で出た表の枚数を考える。2枚とも表なら表の枚数は2で，移動量は である。2枚とも裏なら表の枚数は0で，移動量は である。それ以外なら表の枚数は1で，移動量は0である。
つまり，1回の試行における移動量は である。
(1) 2回の試行では，合計4枚の硬貨を投げたと考えられる。 となるには，総移動量が であればよい。表の総数を とすると，後で示すように であるから， は と同値である。
4枚のうち表が1枚である確率は である。
(2) 3回の試行では，合計6枚の硬貨を投げたと考えられる。 となるには すなわち であればよい。よって である。したがって である。
(3) 回の試行で出た表の総数を とする。各試行の移動量は「その試行で出た表の枚数 」であるから， 回の移動量の合計は である。したがって である。
(4) となるには，(3) より すなわち であればよい。 回の試行は合計 枚の硬貨を投げることと同じなので，表の総数が となる確率は である。
ただし，表の枚数は 以上 以下でなければならない。したがって すなわち のときだけ可能である。よって
である。