東北大学 2010年度
文系数学 前期 第1問

解答

(1) $f(x)=x^3$ であるから，$x\ne a$，$y\ne x$ に注意して $\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\frac{x^3-a^3}{x-a}=x^2+xa+a^2$ である。また $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}=\frac{y^3-x^3}{y-x}=y^2+xy+x^2$ である。右辺から左辺を引くと $(y^2+xy+x^2)-(x^2+xa+a^2)=y^2+xy-xa-a^2.$ これを因数分解すると $y^2+xy-xa-a^2=(y-a)(x+y+a)$ である。

条件より $y-a>0$ であり，また $0\leqq a<x<y$ だから $x+y+a>0$ である。したがって $(y-a)(x+y+a)>0$ となり，$\frac{f(x)-f(a)}{x-a}<\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ が成り立つ。

(2) 点 $(y,f(y))$ と $(b,f(b))$ を結ぶ直線において，$x$ に対応する値は $\frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}$ である。そこで差を計算する。$f(t)=t^3$ を代入すると

分母を払って整理すると $(b-y)x^3-(x-y)b^3-(b-x)y^3=(b-y)(x-b)(x-y)(b+x+y)$ である。したがって $f(x)-\frac{(x-y)f(b)+(b-x)f(y)}{b-y}=(x-b)(x-y)(b+x+y).$ ここで $y<x<b$ だから $x-b<0,x-y>0$ である。よって上の差が常に正であるためには $b+x+y<0$ が常に成り立てばよい。

まず必要性を調べる。$x,y$ をともに $b$ に近づけると，$b+x+y$ は $3b$ にいくらでも近づく。もし $b>0$ なら $x,y$ を十分 $b$ に近く取ることで $b+x+y>0$ となり，不等式は成り立たない。したがって必要条件は $b\leqq 0$ である。

逆に $b\leqq 0$ とする。$y<x<b$ より $x<b$，$y<b$ であるから $b+x+y<b+b+b=3b\leqq 0.$ 実際には $x<b$，$y<b$ なので $b+x+y<0$ である。したがって差は正となり，条件を満たす。

以上より求める範囲は $\boxed{b\leqq 0}$ である。