問題
放物線に対して，以下の問いに答えよ．
(1) 上の点を通り，におけるの接線に直交する直線の方程式を求めよ．
(2) を(1)で求めた直線とする．のとき，直線をに関して対称に折り返して得られる直線の方程式を求めよ．
(3) (2)で求めた直線はの値によらず定点を通ることを示し，の座標を求めよ．
出典：東北大学 2010年度 前期日程 第2次学力試験 文系 前期 第2問
方針
放物線の接線の傾きから法線 を求める。直線 は点 を通るので，折り返した直線 も を通る。したがって，あとは直線 の方向ベクトルを，法線 の方向に関して対称移動した方向ベクトルを求めればよい。最後は の式を整理し， によらない切片から定点を読み取る。
解答
(1) 放物線 の点 における接線の傾きは である。
のとき，この接線に直交する直線 の傾きは である。したがって は を通り， と表される。両辺に を掛けると であるから である。
のとき，接線の傾きは0であり，接線は 軸に平行である。これに直交し， を通る直線は である。
(2) 以下 とする。直線 は点 を通り，その方向ベクトルは である。また，(1) の法線 の方向ベクトルとして を取ることができる。
を の方向に関して対称に移したベクトルを求める。射影を用いると，反射後のベクトルは である。ここで だから，反射後の方向ベクトルは
したがって直線 の傾きは である。
また，折り返しの軸 は を通り，直線 も を通るので，折り返された直線 も を通る。よって である。
(3) (2) の式を整理する。 であるから 定数項は である。したがって である。
この式から， の値によらず のとき となる。よってすべての は定点 を通る。