東北大学 2009年度後期・文系数学後期第4問解答・解説

問題

$t$ を $t ≧ 0$ を満たす実数とする．座標平面において，不等式 $x^{2} + y^{2} + 2 y - 1 ≦ 0$ が表す領域を $A$ ，不等式 $x^{2} + y^{2} - 2 (t + 1) x - 2 t^{2} y + t^{4} + 2 t - 1 ≦ 0$ が表す領域を $B$ ，不等式 $x^{2} + y^{2} + 2 (t + 1) x - 2 t^{2} y + t^{4} + t^{2} + 2 t - 1 ≦ 0$ が表す領域を $C$ とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1) $t = 0$ のとき， $A$ ， $B$ ， $C$ の共通部分 $A \cap B \cap C$ は空集合でないことを示せ．

(2) $B$ と $C$ の共通部分が1点からなるとき， $t$ の値を求めよ．

(3) $t$ が(2)で求めた値のとき， $B$ と $C$ の共通部分は $A$ に含まれることを示せ．

(4) $A \cap B \cap C$ が空集合でないための $t$ の範囲を求めよ．

出典：東北大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第4問

方針

3つの不等式を円の内部として整理する。 $A$ ， $B$ ， $C$ の中心と半径を明確にし，まず $B$ と $C$ の共通部分が1点になる条件を，2中心間距離が半径の和に等しい外接条件で求める。(4)では，三者の共通部分があるためには少なくとも $B$ と $C$ が交わる必要がある。一方で $B$ と $C$ が交わる範囲では， $C$ の右端の点が $B$ にも $A$ にも入ることを示して十分性を出す。

解答

まず3つの領域を円として書き直す。

$A$ は $x^{2} + (y + 1)^{2} ≦ 2$ であるから，中心 $(0, - 1)$ ，半径 $2$ の円の内部である。

$B$ は平方完成して $(x - (t + 1))^{2} + (y - t^{2})^{2} ≦ t^{2} + 2$ である。したがって中心は $B_{0} = (t + 1, t^{2})$ で，半径は $t^{2} + 2$ である。

$C$ は $(x + (t + 1))^{2} + (y - t^{2})^{2} ≦ 2$ である。したがって中心は $C_{0} = (- (t + 1), t^{2})$ で，半径は $2$ である。

(1)

$t = 0$ のとき，3つの円の中心と半径は $A : (0, - 1), 2, B : (1, 0), 2, C : (- 1, 0), 2$ である。点 $(0, 0)$ からこれらの中心までの距離はそれぞれ $1, 1, 1$ であり，いずれも $2$ 以下である。したがって $(0, 0)$ は $A, B, C$ すべてに含まれるので $A \cap B \cap C \neq = \emptyset$ である。

(2)

$B$ と $C$ の中心は同じ高さ $t^{2}$ にあり，中心間距離は $2 (t + 1)$ である。 $B$ の半径は $t^{2} + 2$ ， $C$ の半径は $2$ である。 $t ≧ 0$ では中心間距離が半径の差より大きいので，1点で交わるのは外接するときである。したがって $2 (t + 1) = t^{2} + 2 + 2$ を解けばよい。

この式を整理する。まず $2 (t + 1) - 2 = t^{2} + 2$ である。両辺を2乗して $3 t^{2} + (8 - 42) t + 4 - 42 = 0$ を得る。この2次方程式の $t ≧ 0$ の解は $t_{0} = \frac{2}{3} (3 - 2 + 2 - 2)$ である。

(3)

$t = t_{0}$ のとき， $B$ と $C$ は外接するので，共通部分は接点1点だけである。この接点は， $C$ の中心から右に半径 $2$ だけ進んだ点だから $T = (2 - (t_{0} + 1), t_{0}^{2})$ である。

(2)の方程式で $t = 1/2$ を代入すると，左辺は $3$ ，右辺は $\frac{9}{4} + 2 = \frac{3}{2} + 2 < 3$ である。また $t = 0$ では左辺が右辺より小さいので，解 $t_{0}$ は $0 < t_{0} < \frac{1}{2}$ を満たす。

したがって $∣ 2 - (t_{0} + 1) ∣ ≦ 2 - 1, 1 < t_{0}^{2} + 1 < \frac{5}{4}$ である。よって

(2 - (t_{0} + 1))^{2} + (t_{0}^{2} + 1)^{2} ≦ (2 - 1)^{2} + (\frac{5}{4})^{2} = 3 - 22 + \frac{25}{16} < 2

である。これは $T_{x}^{2} + (T_{y} + 1)^{2} < 2$ を意味するので，接点 $T$ は $A$ に含まれる。したがって $t = t_{0}$ のとき， $B \cap C$ は $A$ に含まれる。

(4)

まず $A \cap B \cap C$ が空でないなら，少なくとも $B \cap C$ は空でない。 $B$ と $C$ が交わる条件は，中心間距離が半径の和以下であること，すなわち $2 (t + 1) ≦ t^{2} + 2 + 2$ である。左辺と右辺の大小は(2)で求めた $t_{0}$ を境に変わるので，必要条件として $0 ≦ t ≦ t_{0}$ を得る。

逆に $0 ≦ t ≦ t_{0}$ とする。点 $T_{t} = (2 - (t + 1), t^{2})$ を考える。この点は $C$ の中心から右に $2$ だけ進んだ点なので， $C$ に含まれる。また $距離 (T_{t}, B_{0}) = 2 (t + 1) - 2$ であり， $t ≦ t_{0}$ では $2 (t + 1) - 2 ≦ t^{2} + 2$ だから $T_{t}$ は $B$ にも含まれる。

さらに $t ≦ t_{0} < 1/2$ なので，(3)と同じ評価により $(2 - (t + 1))^{2} + (t^{2} + 1)^{2} < 2$ である。したがって $T_{t}$ は $A$ にも含まれる。よって $A \cap B \cap C$ は空でない。

以上より，求める範囲は $0 ≦ t ≦ \frac{2}{3} (3 - 2 + 2 - 2)$ である。

東北大学 2009年度後期・文系数学 後期 第4問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

(4)

東北大学 2009年度
後期・文系数学後期第4問