東北大学 2009年度後期・文系数学後期第3問解答・解説

問題

$a$ を正の実数とし，放物線 $y = \frac{a + 1}{4} x^{2} - \frac{1}{2}$ を $C_{1}$ ，放物線 $y = - \frac{a + 1}{4 a} x^{2} + \frac{1}{2}$ を $C_{2}$ とする．以下の問いに答えよ．

(1) $C_{1}$ と $C_{2}$ の交点の座標を求めよ．

(2) $C_{1}$ と $C_{2}$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ．

(3) $a$ が動くとき，(2)の $S$ の最大値を求めよ．

出典：東北大学 2009年度後期日程第2次学力試験後期・文系後期第3問

方針

2つの放物線の交点は，方程式を引き合わせると $x^{2}$ だけの式になる。囲まれた部分では $C_{2}$ が上， $C_{1}$ が下なので，上下差を交点間で積分する。得られる面積は $8 a / (3 (a + 1))$ となり，最大化は $2 a ≦ a + 1$ ，すなわち $a / (a + 1) ≦ 1/2$ に帰着する。

解答

(1)

交点では $\frac{a + 1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} = - \frac{a + 1}{4 a} x^{2} + \frac{1}{2}$ である。整理すると $(\frac{a + 1}{4} + \frac{a + 1}{4 a}) x^{2} = 1$ すなわち $\frac{( a + 1 ) ^{2}}{4 a} x^{2} = 1$ である。 $a > 0$ より $x = \pm \frac{2 a}{a + 1}$ である。このときの $y$ 座標は，たとえば $C_{1}$ に代入して

y = \frac{a + 1}{4} \cdot \frac{4 a}{( a + 1 ) ^{2}} - \frac{1}{2} = \frac{a}{a + 1} - \frac{1}{2} = \frac{a - 1}{2 ( a + 1 )}

である。よって交点は $(\pm \frac{2 a}{a + 1}, \frac{a - 1}{2 ( a + 1 )})$ である。

(2)

交点の間では $C_{2}$ が上側， $C_{1}$ が下側にある。上下差は

(- \frac{a + 1}{4 a} x^{2} + \frac{1}{2}) - (\frac{a + 1}{4} x^{2} - \frac{1}{2}) = 1 - \frac{( a + 1 ) ^{2}}{4 a} x^{2}

である。したがって， $h = 2 a / (a + 1)$ とおくと $S = \int_{- h}^{h} (1 - \frac{x ^{2}}{h ^{2}}) d x$ である。計算して

S = [x - \frac{x ^{3}}{3 h ^{2}}]_{- h}^{h} = \frac{4 h}{3} = \frac{8 a}{3 ( a + 1 )}

である。

(3)

(2)より $S = \frac{8}{3} \cdot \frac{a}{a + 1}$ である。 $a > 0$ なので $a + 1 ≧ 2 a$ より $\frac{a}{a + 1} ≦ \frac{1}{2}$ である。等号は $a = 1$ のとき成り立つ。したがって $S$ の最大値は $\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{4}{3}$ である。

東北大学 2009年度後期・文系数学 後期 第3問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2009年度
後期・文系数学後期第3問