問題
をについての3次式で，の項の係数が1であるものとする．およびを満たす実数，，，に対して，をで割った商と余りが，それぞれ，をで割った余りに一致するための必要十分条件は，，であることを示せ．
出典：東北大学 2009年度 後期日程 第2次学力試験 後期・文系 後期 第1問
方針
2つの割り算で商と余りがともに一致すると仮定し，割り算の表示を並べる。3次式をモニックな2次式で割った商は1次式で，しかも零式ではない。したがって同じ商・同じ余りを消去すると，割る2次式そのものが一致する。最後に2次式の係数を比較し，，という順序条件で対応を確定する。
解答
をで割った商と余りをそれぞれとする。同じ商と余りがで割ったときにも得られると仮定する。このとき であり，同時に である。両式を引くと である。
はの項の係数が1である3次式であり，割る式はいずれもの項の係数が1である2次式である。したがって商はの項の係数が1である1次式であり，零式ではない。よって でなければならない。
2次式を展開して係数を比較すると である。これは，2つの2次方程式 が同じ解の組をもつことを意味する。したがって集合として である。さらに，なので，小さい方どうし，大きい方どうしが一致し， となる。
逆に，なら，割る2次式が同じであるから，商と余りが一致するのは明らかである。したがって必要十分条件は である。