東北大学 2006年度理系数学前期第5問解答・解説

問題

3次正方行列 $A$ ， $B$ ， $O$ を $A = 000010000$ ， $B = 000100010$ ， $O = 000000000$ とする．以下の問に答えよ．

(1) 2以上の自然数 $k$ に対して， $(A + B)^{k}$ を求めよ．

(2) すべての自然数 $m$ ， $n$ に対して， $A^{m} B^{n}$ および $B^{n} A^{m}$ を求めよ．

(3) 等式 $(A + B) X = X (A + B) = O$ を満たす3次正方行列 $X = x_{1} y_{1} z_{1} x_{2} y_{2} z_{2} x_{3} y_{3} z_{3}$ を求めよ．

出典：東北大学 2006年度前期日程第2次学力試験理系前期第5問

方針

まず $A^{m} = A$ ， $B^{2}$ ， $B^{3} = O$ を直接計算して，冪の形を固定する。 $(A + B)^{k}$ は2乗した後に同じ行列で安定することを確認すればよい。最後は $N = A + B$ とおき， $N X = O$ と $X N = O$ をそれぞれ成分で計算して，どの行・列が0になるかを順に絞る。

解答

(1)

A + B = 000110010

である。直接計算すると

(A + B)^{2} = 000110110

である。さらに

000110110000110010 = 000110110

なので，2乗以降は変わらない。したがって $k ≧ 2$ で

(A + B)^{k} = 000110110

である。

(2)

$A$ は $A^{2} = A$ を満たすので，すべての自然数 $m$ について $A^{m} = A$ である。また

B^{2} = 000000100, B^{3} = O

であるから

B^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ B B^{2} O (n = 1), (n = 2), (n ≧ 3)

である。

したがって $A^{m} B^{n} = A B^{n}$ であり，

A B = 000000010, A B^{2} = O

より

A^{m} B^{n} = ⎩ ⎨ ⎧ 000000010 O (n = 1), (n ≧ 2)

である。

同様に $B^{n} A^{m} = B^{n} A$ であり，

B A = 000100000, B^{2} A = O

より

B^{n} A^{m} = ⎩ ⎨ ⎧ 000100000 O (n = 1), (n ≧ 2)

である。

(3)

N = A + B = 000110010

とおく。まず $N X = O$ を計算する。 $N$ の第1行は $(0, 1, 0)$ ，第2行は $(0, 1, 1)$ なので

N X = y_{1} y_{1} + z_{1} 0 y_{2} y_{2} + z_{2} 0 y_{3} y_{3} + z_{3} 0

である。これが零行列なので $y_{1} = y_{2} = y_{3} = 0, z_{1} = z_{2} = z_{3} = 0$ である。

次に $X N = O$ を用いる。上の結果から

X = x_{1} 00 x_{2} 00 x_{3} 00

である。このとき

X N = 000 x_{1} + x_{2} 00 x_{2} 00

であるから $x_{2} = 0, x_{1} + x_{2} = 0$ より $x_{1} = x_{2} = 0$ である。 $x_{3}$ には条件がないので，任意の実数 $t$ を用いて

X = 000000 t 00 (t \in R)

である。

東北大学 2006年度理系数学 前期 第5問

問題

方針

解答

(1)

(2)

(3)

東北大学 2006年度
理系数学前期第5問